マンガでよめる痔のこと・薬のこと

曲線y=x^2/2と点(t,f(t))で接する半径2√2の円の中心の座標を(x(t),y(t))とする。ただし、y(t)>f(t)となるように円を選ぶものとする。x(t),y(t)を求めよ。ここで、曲線C1と曲線C2が点Pで接するとは、C1、C2がともに点Pを通り、その点での接線が一致することである。

答えはx(t)=t-2√2t/√(t^2+1) y(t)=1/2t^2+2√2/√(t^2+1)
になるようです。


曲線y=x^2/2の接線はy=tx-t^2/2・・・(1) 
円の接線は(x-x(t))(t-x(t))+(y-y(t))(t^2/2-y(t))=8・・・(2)
と表せ、(2)をx,yについて整理して(1)のx,yの係数と比較するとx(t)=0,y(t)=t^2/2+1となってしまいます。
((t,f(t))における曲線の接線と円の接線が一致するときを考えた。)
どこがおかしいのでしょうか。

A 回答 (2件)

文字が多くて、少し混乱しやすい感じですね。


数IIIの範囲を前提として以下に記します。

まず、「接すること」を改めて整理しておきましょう。
(1)微分係数が一致している。
(2)曲線と円はともに、点(t, t^2/2)を通る。

(1)の微分係数については、特に円の微分係数:dy/dxを求めるところがポイントです。
{ x- x(t) }^2+ { y- y(t) }^2= 8の両辺を微分し、整理すると
{ x- x(t) }+ { y- y(t) }* dy/dx= 0
点(t, t^2/2)におけるこの微分係数と f '(t)が等しいことを第一の条件式とします。

(2)は単純に、点(t, t^2/2)が円周上の点であることを式に表します。
(1)の条件式を変形して代入すると、こたえが求められます。
このとき、y(t)> f(t)≧ 0であることを利用します。
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そのやり方でも解答のようになりませんか?


x(t)=t±2√2t/√(t^2+1)となるように思います。y(t)>f(t)からt-2√2t/√(t^2+1)が残るのだと思いますが、そこのところはよくわかりません。
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