次の行列式を対角化しなさいという問題なのですが、教えてください。

次の行列式を対角化しなさいという問題なのですが、教えてください。
| 4 2 2 |
| 2 1 1 |
| 2 1 1 |を対角化する問題です。
固有値は、0と6と求められたのですがそのあとが分かりません。

６に対応する固有ベクトルは、ｘ１が２、ｘ２が１、ｘ３が１で求めることができました。
０に対応する固有ベクトルが分かりません。

上の行列を基本変形し、
| 2 1 1 | とするところまではたどりつきました。
| 0 0 0 |
| 0 0 0 |

自由度は、未知数-rankなので、自由度２となり、
x2をt1とおき、x3をt2とおき計算してみました。
そしたら、x1=t1,x2=t2,x3=-2t1-t2となり、
最終的に、


　　| 1 | 　　　| 0 |
　t1| 0 |+　t3| 1 |
　　|-2 | 　　　|-1 |
となったのですが、解説を見てみるとあっていません。
どのようにすればよいのでしょうか？

教科書などのやり方を見てみるとこのようなやり方であっているような気がするのですが。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/02/08 14:36

貴方の答えは、正解です。

自由度(？？？ 固有値の重複度でなく、
固有空間の次元を指しているなら ok。)
が 2 以上の場合、固有ベクトルの採り方は
一通りではない ことを思い出しましょう。
固有空間の基底であればよいのですから。

本の解答も、たぶん両方とも正解
なんじゃないかな。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/02/08 13:45

「解説を見てみるとあっていません」と書かれていますが, では「解説」はどのようになっているのでしょうか?

「自由度が 2」ということはその固有値に対する固有空間が 2次元であり, 従って独立に 2本の固有ベクトルが取れるということは OK ですよね?