同じものを含む円順列

例えば赤２個　白５個の玉があってネックレス作る場合の数なんですが、
普通にかぞえるやりかたじゃなく計算で出したいのですが、
まず、白１個を固定したら、残りの６つの場所に赤２個、白４個を同じ色が対称になるように分け方は３通り、よって対称でない円順列の場合の数と合わせて３＋｛（円順列の総数ー3)/2｝でいいでしょうか？？
また、円順列の総数は１つ固定じゃ出ませんよね？どうやって出すのでしょうか？

No.3 回答者： noname#112109 回答日時： 2010/03/02 20:43

ネックレスなので，円順列ではなく，数珠順列になります。

このような問題の場合，個数の少ない色に着目することがポイントです。ここでは赤玉1個を固定します。すると残り6個の玉の色の並びは
(1)赤白白白白白　(2)白赤白白白白　(3)白白赤白白白
(4)白白白赤白白　(5)白白白白赤白　(6)白白白白白赤
となりますが，ネックレスなので(1)と(6)，(2)と(5)，(3)と(4)は同じになります(ネックレスは裏返しが可能なため)。よって答えは3通りです。

No.2 回答者： LightOKOK 回答日時： 2010/02/11 20:23

>円順列の総数は１つ固定じゃ出ませんよね？

>どうやって出すのでしょうか？

そもそも、円順列を求める考え方が、「１つ固定」の考え方です
から、求まります。

白１個を使ったので、残りは白２個、赤２個ですから、
固定の白から、時計回りに置いていく順列を考えれば良いので、
4!/(2!2!)　通り。
この中には、対称なものが３通り含まれていますから、それを
除く。そのあと、ネックレスでしたら裏返しができますので、
２で割る。

>３＋｛（円順列の総数ー3)/2｝でいいでしょうか？？
これでいいです。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/02/11 20:12

ネックレスの場合には、「円順列」というだけでなく

文字どおり「数珠順列（裏返して同じになるものは同じ並びとみなす）」となります。

いまの問題ですが、「白玉を 2つにわける」ことで場合の数を求められます。
「数え上げ」になってしまいますが、書き出してみると
1) 赤赤白白白白白
2) 赤白赤白白白白
3) 赤白白赤白白白
4) 赤白白白赤白白
5) 赤白白白白赤白
6) 赤白白白白白赤

となりますが、
・1番目と7番目がくっついていること
・裏返しても同じということ
を考えると、1)-6)、2)-5)、3)-4)は同じ並びになってしまいます。

言い換えると、「赤玉の"間"に何個白玉が入っているか」という場合分けになります。
これは冒頭に書いた「白玉を 2つにわける」ことと同じです。


もし計算にするのであれば、「白玉を 2つにわける」わけ方として
a) 白玉 5個と仕切り棒 1個の計 6個を一列に並べることを考え、
b) 裏返してもいいように 2で割る
とすることで求められます。

ただし、白玉の数が偶数の場合には a)のところで +1しておく必要があります。
「ど真ん中」に仕切り棒を入れる場合を、2で割る前に他の場合と同様に重複させておくためです。
白玉 4個の場合などで具体的に書いてみるとわかると思います。