(あ)(+)(い)(=)(い)(+)(あ)
このように加法は交換則は成立としますよね。
(か)(×)(き)(=)(き)(×)(か)
このように乗法は交換則は成立としますよね。
ところで
(あ)(-)(い)(=)(い)(-)(あ)
減法においては、このような交換則は不成立としますよね。
さらに
(か)(÷)(き)(=)(き)(÷)(か)
除法においては、このような交換則は不成立としますよね。
米
さらに、ところで、
今から書く記述法は一般的ではないと感じますがあえて書きます。
べき乗
(さ)(べき乗)(し)(=)(し)(べき乗)(さ)
べき乗においては、このような交換則は不成立としますよね。
対数
(さ)(対数)(し)(=)(し)(対数)(さ)
対数においては、このような交換則は不成立としますよね。
米
言いたいこと、質問したいことを、まとめます。
<一>加法とその逆演算である減法においては、加法のみ交換則が成立するとする。
<二>乗法とその逆演算である除法においては、乗法のみ交換則が成立するとする。
<三>べき乗とその逆演算である対数においては、両者とも交換則が不成立とする。
<四>ハイパー演算子による表現では、加法、乗法、べき乗、テトレーション、・・・というふうに、連鎖的に演算の深度が進んでいくように感じられる。
<五>HYPER3から交換則の両者不成立が出てくる理由・仕組み・あるいはそう定義することになった事情。これらを教えてください。
校正・推敲はしました。つたない文章ですがよろしくおねがいします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
すみません, #1 はちょっと意地悪すぎですね. ただ, 本来「加算」にしろ「乗算」にしろ「ただの 2項演算」であり, 「いかなる場合においても可換であるわけではない」ことは念頭に置いておく必要はあります.
とりあえず 1 と 2 については「減算や除算がそもそも非対称な演算として定義されている」ことに注意する必要があります. たとえば減算は
a+x = b のとき x = b-a
と定義していますが, 元の加算の式においてそもそも a と b は対称ではありません. そして, 減算はこの対称ではない a と b からなる演算なので, 本質的に非対称な演算となっています.
あと, 加算/乗算とべき乗の違いという観点では
a + (b+1) = (a+b) + 1, a * (b+1) = (a*b) + a, a ^ (b+1) = (a^b) * a
に対して
(a+1) + b = (a+b) + 1, (a+1) * b = (a*b) + b, (a+1) ^ b = (a^b) * b
となっていないことは気になりますね.
ありがというございます。
前半文章の「非対称」「対称」という文言がいまひとつ理解できませんので、今後のわたくしの課題とします。それと、
-----引用-----
a + (b+1) = (a+b) + 1, a * (b+1) = (a*b) + a, a ^ (b+1) = (a^b) * a
に対して
(a+1) + b = (a+b) + 1, (a+1) * b = (a*b) + b, (a+1) ^ b = (a^b) * b
となっていないこと
-----引用-----
後半部分についての、自分なりの解釈を、自己流表記で以下に打ちます。
<ア>加法について次のように表記します。
(第一被演算子)(HYPER1)(第二被演算子)
<イ>乗法について次のように表記します。
(第一被演算子)(HYPER2)(第二被演算子)
<ウ>乗法について次のように表記します。
(第一被演算子)(HYPER3)(第二被演算子)
<エ>これらを用いて、引用部分を書き直します。
<カ>(a)(HYPER1)((b)(HYPER1)(単位元))(=)((a)(HYPER1)(b))(HYPER1)(単位元)
<キ>(a)(HYPER2)((b)(HYPER1)(単位元))(=)((a)(HYPER2)(b))(HYPER1)(a)
<ク>(a)(HYPER3)((b)(HYPER1)(単位元))(=)((a)(HYPER3)(b))(HYPER2)(a)
<ケ>これらに対して、
<サ>((a)(HYPER1)(単位元))(HYPER1)(b)(=)((a)(HYPER1)(b))(HYPER1)(単位元)
<シ>((a)(HYPER1)(単位元))(HYPER2)(b)(=)((a)(HYPER2)(b))(HYPER1)(b)
<ス>((a)(HYPER1)(単位元))(HYPER3)(b)(=)((a)(HYPER3)(b))(HYPER2)(b)
<セ><サ、シ>は成り立つが、<ス>は成り立たない。
引用部分の理解はこれで良いのでしょうか。頭の中が真っ白になってますので、自分でもよくわかりません。根本的に、頭の使い方や思考回路を修理したいです。よろしくおねがいします。
No.1
- 回答日時:
「乗法が可換じゃない」って, 別に珍しくないよね.
「加法が可換じゃない」はさすがにあまり見ないけど, そうであっても問題はないよね.
で, 問題はなんだったっけ?
この回答への補足
否定(加法が可換)。
・・・・お礼がてら補足をさせてもらおうと、しましたが、集合と論理学の、基礎が、できていないことに、気がつきました。・・・・。。
加法が可換ではなくても、問題はない。
←という点が新鮮です。
米
問題はなんだったのでしょうか
いま頭の中まっしろになりました。
あとでまたカキコします。
aRI-gATETU7
今気が付きました。 乗法が可換ではない。 これは行列や行列式の計算則で見られることなのでしょうかね。 で、加法が可換ではない。 そう定義しても問題はない。というのは、定義は、より厳しくしておく分には、論理の整合性を保てる。 そういうことなのでしょうかね。
※
で、訊きたかった事は、ハイパー演算の累度が上がると、計算則の制約がより厳しくなるのは、どのような原理が働いているのかを、理解したかったからです。
※
MATHについて甘く見ていました。反省です。
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