二等辺三角形の面積について。

二等辺三角形の面積について。
斜辺が８センチ、底角が７５°の二等辺三角形の面積なのですが、高さと底辺はわからないです。

式のたて方を教えてください

No.1 回答者： dogsiva 回答日時： 2010/03/04 22:00

底角が75°→三つの角はそれぞれ、75°、75°、30°

↓

右下または左下の頂点から、反対側の斜辺に垂線(ア)を引くと
30°、60°、90°の直角三角形(A)ができあがります。
(A)の斜辺は8cm、ここから三角関数を用いて(ア)の長さを求めます。

底辺8cm、高さ(ア)の三角形の面積を求める計算で、面積を出すことができます。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/03/04 22:01

底辺=2*8cos75°

高さ=8sin75°
なので
面積S=(1/2)x(底辺)x(高さ)=64sin75°cos75°
　=32*2sin75°cos75°
=32sin150°(∵sinの2倍角の公式適用)
　=32sin(180°-30°)=32sin30°
　=32x(1/2)=16

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2010/03/04 22:02

７５°、１５°の直角三角形の辺の比がわかればＯＫですね。

三角形ＡＢＣで∠Ａ＝６０°、∠Ｂ＝９０°、∠Ｃ＝３０°とします。
ＡＢ＝１とするとＢＣ＝√３、ＣＡ＝２です。
ＢＣを延長してＡＣ＝ＣＤとなる点Ｄをとります。
∠ＣＤＡ＝１５°です。ＢＤ＝２＋√３　ですからピタゴラスでＡＤの長さがわかります。
これでＯＫです。

No.4 回答者： char2nd 回答日時： 2010/03/04 22:24

　問題の二等辺三角形の頂点をＡとし、残る２点をそれぞれＢ、Ｃとします。

この場合、∠ＢＡＣ＝30°です（180°－75°×２＝30°）。また、ＡＢ＝ＡＣ＝8cmです。
　辺ＡＣを延長し、∠ＡＢＤ＝90°となるような点Ｄを求めます。このとき、△ＡＢＤは直角三角形となり、∠ＡＤＢ＝60°です。
　このような直角三角形の３辺の比は、１：√３：２です。従って、ＡＢ＝8より、

　ＢＤ＝8/√3
　ＡＤ＝16/√3

　よって、△ＡＢＤの面積は、

　8/√3×8÷2＝32/√3

　△ＡＢＣと△ＢＤＣはそれぞれＡＣ、ＣＤを底辺とすると高さを共有していますので、面積比はそのままＡＣ：ＣＤとなります。
　即ち、△ＡＢＤと△ＡＢＣの面積比はＡＤ：ＡＣとなります。
　従って、求める面積は、△ＡＢＤの面積のＡＣ/ＡＤとなります。