環状ガウス鎖の＜Ｓ＾２＞（回転二乗半径）が自由連結鎖の＜Ｓ＾２＞の半分

締切済

質問者：3simayan
質問日時：2010/03/27 00:52
回答数：1件

環状ガウス鎖の＜Ｓ＾２＞（回転二乗半径）が自由連結鎖の＜Ｓ＾２＞の半分になる理由を説明せよ。

という問題が出ました。

イメージできそうでできません↓↓

よろしくお願いします。

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

このQ&Aに関連する最新のQ&A

「2>&1」に関するQ&A：＜質問２つ＞アンドロイドのスマホやタブレットにはwindowsのようなゴミ箱はありますか？

さらに表示

「BI とは」に関するQ&A： e^aと e^(bi) の積が指数法則からe^(a+bi)となることは・・・

回答 (1件)

最新から表示
回答順に表示

No.1

回答者： drmuraberg
回答日時：2010/03/31 12:41

＜環状ガウス鎖の＜Ｓ＾２＞（回転二乗半径）が自由連結鎖の

＜Ｓ＾２＞「より小さく成る」理由を説明せよ。
上の様な質問なら、両端が結ばれているために鎖がコンパクトになる
から、で良いのでしょうが、「半分になる」理由と聞かれると
「計算結果がそうなるから」としか答えようが有りません。

自由連結鎖の<S^2>の計算と環状ガウス鎖<Sr^2>の導出をして
みたので、<Sr^2>の導出の前提からヒントを得てください。

分子鎖がｎ個のセグメントBiよりなり、セグメントBiと重心を結ぶ
ベクトルをSi-1とするとΣSi=0。 (和はi = 0～n)
平均回転半径は〈S^2〉= Σ〈Si^2〉/(n+1)。 (和はi = 0～n)　　(1)

セグメントBiとBjを結ぶベクトルをRijとすると、
Rij^2 = Si^2 + Sj^2 - 2Si*Sj　　　　　　　　　　　　　　　　(2)

ΣΣRij^2 =ΣΣ(Si^2 + Sj^2 -2Si*Sj) (和はそれぞれi,j= 0～n)
= 2(n+1)ΣSi^2 - 2(ΣSi) (ΣSj)　　　　　　　　　　　　　　(3)

ΣSi=0 なので、(3)式の平均は
ΣΣ〈Rij^2〉 = 2(n+1)Σ〈Si^2 〉　　　　　　　　　　　　　(4)
(1)と(4)より、
〈S^2〉=ΣΣ〈Rij^2〉/(2(n+1)^2)　(和はそれぞれi,j= 0～n)　(5)

i=j の時はRij=0 となるので、ΣΣは2ΣΣ (和はi=0～n, j=0～i-1)
で置き換えられる。
自由な鎖（ガウス鎖）では平均2乗両端間距離〈r^2〉= nb^2 である
から、〈Rij^2〉= |i-j|b^2 と置くと
〈S^2〉= 2ΣΣ（i-j）b^2/（2(n+1)^2）　　　　　　(6) 　　　
(和はi,j=0～nからi=0～n, j=0～i-1に変更)

まずj、次いでiの和を取り級数を計算し、n>>1 として、1,1/n…の
オーダの項を無視すると
〈S^2〉= nb^2/6　　　　　　　　　　　　　　　　　(7)
となり、両端が自由な鎖の 1/6 となっている。

環状鎖に付いての概算のために、セグメントBiの数を2nとし、
鎖はnを境として対称と考え i の和を0～n で取り、それを2倍する。
更に、Rijはガウス鎖近似で良いとすれば、
環状鎖の平均回転半径〈Sr^2〉は
〈Sr^2〉=4ΣΣ（i-j）b^2/（2(2n+1)^2）　(和はi=0～n, j=0～i-1)

これを両端が自由な鎖の場合と同様に計算し、
n>>1 として、1,1/n…のオーダの項をnに対し無視すると
〈Sr^2〉= nb^2/12　

つまり〈Sr^2〉は〈S^2〉の半分となる。

- 1
- 件

通報する

このQ&Aに関連する人気のQ&A

「2>&1」に関するQ&A：エクセルで２つのデータを照合したい

さらに表示

「BI とは」に関するQ&A：虚数とは結局なんですか？

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう！

質問する（無料）

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

QΣΣ|i-j|の解の導出方法

ΣΣ|i-j|
この計算が上手くできずに困っています。

左のΣの範囲が(1,n-1)で、右のΣの範囲は(i+1,n)です。

高分子鎖の平均二乗回転半径<S^2>を求める際にこの式の計算が必要になりました。(数学のカテゴリーではなくて、化学のほうが正解だったかもしれません。)

持っている教科書では導出の過程は書いていないのですが、結果を見るとおそらくn^3/3(またはそれに二次や一次が付いたもの)になるのでは無いかと考えています。

その前提が間違っているのかもしれませんが、計算方法も不確かだから恐らく計算が間違っているのだと思います。(何度やっても、n^3/6+…という結果になってしまいます。)

何かヒントだけでもあれば、教えていただけると嬉しいです。

Aベストアンサー

とりあえず、Σを具体的に書いて計算を進める。
Σ(1≦i≦n-1)Σ(i+1≦j≦n)|i-j|
=Σ(1≦i≦n-1){1+2+3+…(n-i)}
=Σ(1≦i≦n-1)(n-i)(n-i+1)/2
=(1/2)Σ(1≦i≦n-1){(n-i)^2+(n-i)}
=(1/2){1^2+2^2+3^2+…+(n-1)^2+1+2+3+…+(n-1)}
=(1/2){(1/6)(n-1)n(2n-1)+(1/2)(n-1)n}
=(1/12)(n-1)n(2n-1+3)
=(1/12)(n-1)n(2n+2)
=(1/6)(n-1)n(n+1)
なんかきれいな形になりましたが、あくまで計算はご確認を。

他の回答も見る

Qポリエチレン分子の両末端間距離について

今化学の勉強をしておりますが、近くに質問を出来る人がいないため
どなたか分かる方がいましたら教えてください。
質問と回答が手元にありますが、回答を理解するのに苦しんでおります。

【質問】
10000個のエチレンが直鎖状につながったポリエチレン分子では
溶融状態での両末端間距離の平均はおおよそ3μmである。
正しいか誤っているか？

【回答】
炭素原子の単結合の原子間距離は0.15nmであるので、
n=10000のポリエチレン鎖の長さは
2×0.15×10(-9)×10(4)=3×10(-4)=3μm
*()内は上付き
溶融状態では常に運動しているので、末端間距離は3μm以下となる。

上記の回答中で、
×2、×10(-9)　はそれぞれ何を意味しているのでしょうか？

Aベストアンサー

10000個のエチレンが直鎖状につながったポリエチレン分子のC-C結合の数は2×10000=2×10^4　(厳密に言えば2×10^4－1　なんだろうがほとんど同じ、10^4は10の4乗、以下同様)
10^(-9)は [nm]→[m] に換算する係数、10^(-9)[m/nm]なんだろうが、

>2×0.15×10(-9)×10(4)=3×10(-4)=3μm

は、計算がちょっと違うような気がするが。

2×0.15[nm]×10^(-9)[m/nm]×10^4=3×10^(-6)[m]=3×10^(-6)[m]×10^6[μm/m]=3[μm]

他の回答も見る

Q高分子特性比について

高分子の分野の特性比について最近習いました。平均二乗末端間距離を回転異性状態モデルを使って求めるとこまでは理解していたのですが、最後に特性比というものが出てきてよく分からなくなってしまいました。高分子鎖の大きさを議論するときに特性比Cを用いるそうですが、特性比を見れば何が言えるのでしょうか？実際の高分子鎖の状態などを絡めて特性比の物理的意味をどなたか教えてください。
手持ちの教科書といくらにらめっこしても分からず……
自由連結鎖の特性比が１になるのもよく分かりません。
お恥ずかしい質問かもしれませんがよろしくお願いします。

Aベストアンサー

ご質問に＜自由連結鎖の特性比が１になるのもよく分かりません＞というのもありましたので、少し追加します。

自由連結鎖は文字通り、ボンドに方向性のない自由な結合の仮想的な高分子の事を言います。エチレン分子ではボンドに方向性はありませんが、結合角が束縛されているので、自由連結鎖より大きな体積を占める事になります。最も大きさの小さい仮想的な自由連結鎖を基準に特性比Cを定義しているので自由連結鎖の特性比Cは１ということになるのです。

自由連結鎖の平均の長さ（大きさ）は、初等的なベクトル代数学で簡単に計算できるので、No1の方の答えを参考にしながら、是非勉強してください。

他の回答も見る

Q特性比とは何ですか？化学系の論文で出てきた言葉です。

特性比とは何ですか？化学系の論文で出てきた言葉です。

「この２つのポリペプチドの特性比は同じであり～」などと書いてああり、

特性比を調べたところ、＜R*2＞＝～という式で表されていましたが、
結局それは何なのか分かりませんでした

教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こちらを．

http://gozips.uakron.edu/~mattice/ps674/c.html

まず，ポリマー鎖の統計力学を勉強してください．
そうすると，末端間距離 r という概念と，その二乗平均というものが出てきます．これが <r^2> という項．
もうひとつ，ポリマー鎖は，長さ L の単位が N 個つながってできていると考えます．この単位は化学的な構造と対応するかどうかはどうでもよく，単に統計鎖としてポリマーを記述するのに必要な単位です．ここで，NL^2 を求められます．
特性比 characteristic ratio は <r^2> と NL^2 の比です...続きを読む

他の回答も見る

Q高分子の排除体積効果について

溶融状態における高分子鎖には排除体積効果が見かけ上働かないことを説明してほしいです

詳しく書いてある本やホームページでもいいので教えてください

Aベストアンサー

次の文献の「2.4 高分子溶液のスケーリング則」にその説明が有ります。
以下はその一部の引用です。

＜溶液濃度が
φ**＝　τ (2.79)
で与えられる限界を越えるとR^2= na^2 となり，相互作用の遮蔽がモノマー単位の
サイズまで行きわたることを示している．このように，濃厚な溶液中では高分子は
たがいに絡まりあい複雑に入り組んだ状態になっているが，1 本の鎖に
注目したときにはガウス的にふるまうという，かえって簡単な結果になっている．
このような事実を最初に指摘したのはP.J.Flory なので...続きを読む

他の回答も見る

Qマクスウェル模型、フォークトモデルの問題

課題の提出日が迫っているのでお願いします。
ソフトマターの問題で、マクスウェル模型とフォークとモデルについてです

１．マクスウェル模型は、粘弾性流体に関するもっとも簡単なモデルの一つであり、粘性を表すダッシュポットと弾性的なばねを直列に並べたものであるばねの力学応答はフックの法則(弾性率E)で与えられ、ダッシュポットは粘性率ηのニュートン流体で記述できるとすると、マクスウェル模型は、
dε/dt=1/E・dσ/dt+σ/η
と表される。クリープ・コンプライアンス測定では応力は一定であるが、この時の変形の時間依存性を求めて図示せよ。さらに、応力緩和測定では変形が一定であるが、この時の応力の時間依存性も求めて図示せよ。ここで、緩和時間τ₀=η/Eを導入し、これは定数と仮定してよい。
２．フォークトモデルはバネとダッシュポトを並列につなげたものである。１の問題と同様に、クリープ・コンプライアンス測定における変形と応力緩和測定における応力を求めよ。

Aベストアンサー

歪ε、応力σ、バネの弾性率Ｅ、ダッシュポットの粘性ηとし、
それぞれの歪と応力を添え字f、dで表すと。
バネの応力　　　　　　σf =Eεf
ダッシュポットの応力 σd=ηdεd/dt

Maxwellモデル
合わせた変形εは　ε=εf +εd 、応力σは σ=σf=σd
変形の式を時間tで微分すると
dε/dt=dεf/dt + dεd/dt
したがって
dε/dt=(dσf/dt)/E +σd/η = (dσ/dt)/E +σ/η　　　（１）

Voigtモデル
合わせた応力σは　σ=σf +σd 、歪εは　ε=εf=εd
したがって
σ= Eεf +ηdεd/dt = Eε+ηdε/dt　　　　　　　　　（２）

Maxwellモデル
a) 応力一定σ=σo、クリープ現象。
（１）式は　dε/dt =σo/η
これを積分すれば、Ｃを積分定数として。
ε(t)=(σo/η) t+ C
εo=ε(0) = C で、σf =Eεf からσo=Eεoとなり
εo = σo /E
ε(t)= σo/E +(σo/η)t

バネの瞬間伸び＋ダッシュポットの時間に比例した直線的な伸びの和。

b) 歪一定ε=εo、応力緩和現象。
（１）式は dσ/dt = -σE/η
dσ/σ = -dt/τ　　　　　　τ=η/E
これを積分すれば、Ｃを積分定数として。
lnσ=-τt+ C
σ(t) = C’*exp(-t/τ)
σo= σ(0) = C’ より
σ(t) = σo*exp(-t/τ)

最初σoの応力が指数的に減少し、t=τ（緩和時間）後にはσo*1/eまで
減少する。

Voigtモデル
a)応力一定σ=σo、クリープ現象。
（２）式は　　σo = Eε+ηdε/dt
この微分方程式の解は、積分定数をＣとして
ε(t) = exp(-t/τ)((σo/η)∫exp(t/τ)dt + C)
= σo/E + C*exp(-t/τ)
t=0で歪は0であるから
0 = σo/E + C　　　つまり　　　C = -σo/E
ε(t) = σo/E (1 - exp(-t/τ))

最初0の歪は徐々に増加し、σo/Eで頭打ちになる。
b)歪一定ε=εo
（２）式は　dε/dt = 0 　より
σ(t)= Eεo
となり、バネだけの場合と同じになる(形式的には)。
（実際には、瞬時に変形を与えることはできない。σd=ηdε/dt→∞となる。）

他の回答も見る

Q「良溶媒」とは

辞書などによると、「良溶媒」とは溶質に対して溶解度の高い溶媒のことを言うとされています。
しかし、高分子ゲルのような溶解しない溶質に対して「良溶媒」ということがあるのでしょうか。
論文をの中でそのような書き方がされていたのですが、専門でないので良く分かりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

使いますね。
この場合の良溶媒は物質に対して溶媒和しやすい溶媒を指します。
ゲルであればよく吸って膨潤する溶媒を良溶媒
逆に収縮する溶媒を貧溶媒と呼びます。

他の回答も見る

Q融点とガラス転移温度の違い

融点とガラス転移温度の違いが良く理解できません。分かりやすく教えてください。

Aベストアンサー

高分子やってるものです。おそらく質問にでてくる融点は普通いわれている融点ではなく、高分子特有のTmといわれているほうの融点ですよね？
板ガムを考えていただけるとわかりやすいと思います。ガムってそのまんまだと引っ張ってもぶちぶちきれちゃいますよね？でも口の中でかむとひっぱっても伸びるようになります。この引っ張っても伸びる性質に変わる温度が高分子における融点です。次にガムを寒いところもしくは冷凍庫に入れてみてください。常温のガムは折り曲げてもたたまれるだけなのですが、低温におかれたガムを折り曲げようとすると割れてしまうと思います。このぱきぱきの状態になってしまう温度がガラス転移温度です。
食品保存容器とかラップに耐熱温度がかかれていると思いますが、よくみるとなぜか上と下の両方の温度限界がかかれていると思います。上の方の温度限界（融点）になると溶けてしまうのはまあ想像がつくのですが、下の方の温度限界（ガラス転移温度）になるとぱきぱきになって容器が割れてしまうので書かれているのです。

他の回答も見る

Qラメラって何ですか？？

この間の高分子の授業で
ラメラ間
とか
ラメラ構造とか聞いたんですけど
辞書で調べてもわかりません！！

ラメラ間とは何でしょうか？？
教えてください！！

Aベストアンサー

ポリエチレンなどに代表される結晶性高分子には、全て結晶部と非晶部
があります。100％結晶化した高分子はないと考えて下さい。

ラメラとはこの結晶部の微細構造単位を示す言葉です。高分子を井草
に例えると、ラメラは畳のようなものです。

つまり、何本もの高分子鎖が折りたたまれて、板状の構造をとった部分をラメラとよび、板状になりそこねた部分を非晶部（結晶ではない部分）とよびます。

詳しいことは本なりサイトなりで調べていただくとして、ラメラ間の
イメージは以下の例えで、つかんでみてください。（かなり誇張表現
ですが・・・）

ポリマーとは和室の床のようなもので、畳（ラメラ）が規則正しく
敷き詰めらた状態をいう。畳になりそこねた井草（高分子鎖）は、あ
りとあらゆる畳と畳の間に押し込まれている。これにより生まれた隙
間のことをラメラ間という。

こんな感じでしょうか。

ポリマーの
キーワードはラメラ構造、球晶、高次構造

他の回答も見る

Q重縮合での数平均重合度について

Xnを数平均重合度とし、Npを初期のモノマーの数、全分子数Nとすると、

Xn = No/N

となり、反応度をpとするとN = No(1-p)

Xn = No/No(1-p) = 1/(1-p)

となると思いますが、どうして全分子数がN = No(1-p)　となるのかが分かりません。No(1-p)は未反応の分子数であり、反応した分子数はpNoになるので全分子数ならばN = No(1-p)　＋　ｐNo　であると思います。また、数平均重合度というのは反応率が100%の場合0になってしまうのでしょうか？

Aベストアンサー

縮合重合するような分子は次のような形をとっているはずです。(極端に簡略しています。)
H-R-OH
この両端が縮合できるわけでです。

No個のモノマーがあると、H-がNo個、-OHがNo個あり、反応度がpですから
このうちNo*p個のH-と-OHの対が縮合するわけです。

一個の対が縮合すると2個の分子が1個になるため、分子数が1個減ります。
(この議論では、分子鎖がループしないことを前提としています。ループするような縮合を行うとその縮合では分子の数が変化しませんが、ここでは無視します。)

元のモノマ...続きを読む

他の回答も見る

ページトップ