モースポテンシャル

モースポテンシャルの波動関数?の厳密解はどのように求めればいいんんですか？自分でも問題の意味がよくわかっていないので、理解不能な質問だったらごめんなさい。

No.2 ベストアンサー 回答者： 101325 回答日時： 2009/08/03 19:24

おおまかな方針は、水素原子の波動関数や調和振動子の波動関数を求めるときと同じです。

適当に変数変換して、既知の微分方程式に変形します。

モースの原著論文“Diatomic Molecules According to the Wave Mechanics. II. Vibrational Levels”Phys. Rev. 34, 57 - 64 (1929)
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.34.57
に詳しい導出過程が書いてあります。

日本語の教科書では、以下の二つに概略が書いてあります。

メシア量子力学
http://webcatplus-equal.nii.ac.jp/libportal/DocD …
アイリング量子化学
http://webcatplus-equal.nii.ac.jp/libportal/DocD …

いずれにしても、水素原子の波動関数や調和振動子の波動関数を求めるときと同じように、かなりめんどくさい作業です。化学系の学部学生なら、ウィキペディア英語版に書いてある程度のことを知っていれば十分じゃないかなあと思います。

参考URL：http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_potential

この回答へのお礼

ありがとうございました。
ちなみに厳密解はどのような形になればよいのでしょうか？

お礼日時：2009/08/04 21:45

No.3 回答者： 101325 回答日時： 2009/08/05 12:33

> ちなみに厳密解はどのような形になればよいのでしょうか？

シュレーディンガー方程式

　-(h^2/8π^2μ)ψ'' + V(r)ψ = Eψ

のポテンシャルV(r)を、モースポテンシャル

　V(r) = D exp(-2a(r-ro)) - 2D exp(-a(r-ro))

としたときの固有関数の形は

　ψn=exp(-z/2)・z^(b/2)・L(n,b,z)　　……(1)

のようになります(規格化は面倒なので省きました)。ただし

　z=2d exp(-a(r-ro))
　d=(2π/ah)sqrt(2μD)
　-b^2/4=(8π^2μE/(ah)^2)

のように、変数 r を変数 z で表し、ポテンシャルの深さ D をパラメータ d で、エネルギー E をパラメータ b で表しています。量子数 n は d,b と

　n=d-b/2-1/2　　……(2)

の関係があり、束縛状態であるためには E<0 でなくてはなりませんから、n は

　0≦n＜d-1/2

をみたす整数値になります。

L(n,b,z)は、微分方程式

　zL'' + (b+1-z)L' + n L = 0

の解で、一般化ラゲール多項式(generalized Laguerre polynomial)
http://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomial …
と呼ばれるものです。

固有関数ψnをグラフに書くのなら、dとnを固定して式(2)からbを求めて、式(1)に z=2d exp(-x) を代入し、ψnをxの関数としてプロットすればいいです。

この回答へのお礼

詳しく説明していただきありがとうございました。

お礼日時：2009/08/08 22:31

No.1 回答者： doc_sunday 回答日時： 2009/08/03 10:12

モースポテンシャルの形はこれ、↓のpp26　(4-1)にあります。

http://www.kochi-tech.ac.jp/library/ron/2001/ele …
ただし、これから波動関数を厳密には求まりません。
厳密とは「解析的」に求めることです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
ちなみに厳密解はどのような形なのですか？

お礼日時：2009/08/04 21:55