![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?5a7ff87)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
Cp-Cv={P+(∂U/∂V)t}(∂V/∂T)p
の間違いだと思いますが。
以下導出です。
Cp-Cv={P+(∂U/∂V)t}(∂V/∂T)p = -T(∂V/∂T)p^2*(∂P/∂V)t== TVα^2/κ
の導出
Cp= (∂H/∂T)p
Cv= (∂U/∂T)v
H= U + PVより、
Cp - Cv= (∂H/∂T)p - (∂U/∂T)v
= (∂U/∂T)p + P*(∂V/∂T)p - (∂U/∂T)v …(1)
ここで内部エネルギU(V,T)としたとき、
Uの完全微分は
dU= (∂U/∂V)t*dV + (∂U/∂T)v*dT
Pを一定としてdTで割ると、
(∂U/∂T)p = (∂U/∂V)t*(∂V/∂T)p + (∂U/∂T)v…(2)
(2)を(1)へ代入すれば
Cp – Cv = (∂U/∂V)t*(∂V/∂T)p + (∂U/∂T)v + P*(∂V/∂T)p - (∂U/∂T)v
= (∂U/∂V)t*(∂V/∂T)p + P*(∂V/∂T)p
= {P + (∂U/∂V)t }*(∂V/∂T)p (3)
dU = TdS – pdV より
dS = (dU + pdV)/T (4)
T一定なら
(∂S/∂V)t = = (∂U/∂V)t/T + p/T (5)
V一定なら
(∂S/∂T)v = (∂U/∂T)v/T (6)
S(T,V) が完全微分である条件:∂^2S/∂T∂V = ∂^2S/∂V∂T
の左辺に(5)式を右辺に(6)式を代入すると
∂((∂U/∂V)/T) + ∂(p/T)/ ∂T = ∂((∂U /∂T)/T) /∂V
- (∂U/∂V)/T ^2 + (∂^2U/∂T∂V)/T + ∂(p/T)/ ∂T =( ∂^2U/∂V∂T )/T
∂^2U/∂T∂V = ∂^2U/∂V∂T であるから
- (∂U/∂V)/t*T ^2 + (∂(p/T)/ ∂T )v= 0
よって
(∂U/∂V)/t = T ^2 *(∂(p/T)/ ∂T )v = T(∂P/∂T)v - P (7)
(7)式を(3)式に代入すると
Cp – Cv = T(∂P/∂T)v*(∂V/∂T)p (8)
PをV,Tの関数と考えると、Maxwell の関係式
(∂P/∂V)t* (∂V/∂T)p* (∂T/∂P)v = - 1
を使えば
(∂P/∂T)v = - (∂P/∂V)t* (∂V/∂T)p であるから。
Cp-Cv = -T(∂V/∂T)p^2*(∂P/∂V)t (9)
ここで
定圧下での膨張率α:α= (∂V/∂T)p/V
定温下での圧縮率κ:κ= - (∂V/∂P)t/V
とすれば
Cp – Cv = -T(αV)^2*/(- κV) = TVα^2/κ
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 比内部エネルギーはなぜこの様な式で表されるのですか。 Cv=の式は定義なので分かります。 また右下の 1 2022/04/12 16:04
- 化学 化学 電気 物理 電気化学の実験をサイクリックボルタモグラムCV法を利用して行いました。 参照電極に 1 2023/06/26 10:35
- 物理学 物理 熱力学 2 2022/12/20 14:03
- 物理学 磁性体に関する熱力学の問題が分かりません 1 2023/07/18 03:23
- 教育学 高校化学 0 2023/02/15 07:32
- 物理学 大学で物理学を学んでいる人、大学で物理を学んでいた人へ質問です。 私は現在大学1年で、物理を学んでい 2 2022/10/03 20:00
- 物理学 熱力学 エントロピー 断熱自由膨張 熱力学第2法則 クラウジウスの不等式 2 2022/07/14 12:58
- 数学 【大至急】数学のレポートの問題なんですが分からないので是非教えていただきたいです!本当にお願いします 5 2022/07/25 06:52
- その他(職業・資格) 来年、仕事の都合でエネルギー管理士の資格試験を受験しようと考えているのですが、難易度について教えて下 1 2022/09/24 12:14
- 化学 化学の熱 この問題を、生成熱の総和-反応熱の総和という公式で解けますか? 超基本問題ですがこの公式で 2 2022/04/24 12:56
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報