反応速度論の問題です。 化学の分からないところというよりかは、どちらかと言うと数学の分からないところ

反応速度論の問題です。

化学の分からないところというよりかは、どちらかと言うと数学の分からないところなのですが……。

下の問題の解説の黄色いマーカーが引いてある部分の2つ目の「〜積分すれば〜」のところなのですが、ここでの積分が何をしてるのかがよく分かりません。(左右違う変数で積分してて、もはやなんの積分をしてるのかもなんにも分からないみたいな感じです)

数3まで一応履修してるんですが、これはxとtの置換積分ってことなんでしょうか？
ここで行ってる積分について、もう少し詳しく解説して欲しいです。m(_ _)m

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2021/08/23 16:20

微分方程式の解き方です。

ｘは放射性物質の量、ｔは時間
減少速度ｖは、ｖ＝－ｄｘ/ｄｔ、分裂速度はｘと分裂速度定数に比例します
ｖ＝ｋｘ
－ｄｘ/ｄｔ＝ｋｘ、変形してー(１/x)dx=kdt、両辺を積分して
ーlogx=kt+C
初期量がｘ₀の時
ーlogx₀＝Ｃ
ｘ＝（１/2）x₀半減した時ｔ₁/₂
ーlog1/2＝ｋｔ₁/₂
ｔ₁/₂=(log2)/k

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/23 13:18

①は「反応速度」とは「原子数（正確には原子核数）の時間変化率=時間微分」ということです。

マイナスが付いているのは、減衰（数が減少）しているから。

②は、その「反応速度は、現在ある原子核数に比例する」ということです。
k はその比例定数であり、問題では「速度定数」と呼んでいます。

大学生以上の簡易的な書き方だと
　-dx/dt = kx
→　(1/x)(dx/dt) = -k　　③
を
　(1/x)dx = -kdt
と、微分記号をまるで「分数」のように扱ったりします。
高校の数学ではそういう書き方は習わないと思います。

高校生的には、「置換積分」を使うと
x=g(t) のとき
∫f(x)dx = ∫f(g(t))(dx/dt)dt　　　④
となります。
ここで
　f(x) = 1/x
とすれば、④は
∫(1/x)dx = ∫(1/x)(dx/dt)dt 　　　⑤
となります。

③の両辺を t で積分すると、その左辺はまさしく⑤の右辺になります。
従って、③を t で積分した左辺は
左辺 = ∫(1/x)(dx/dt)dt = ∫(1/x)dx = log|x| + C1 （C1：積分定数）
になり、その右辺は
右辺 = ∫(-k)dt = -kt + C2 （C2：積分定数）
になります。
よって、③を t で積分した結果は
　log|x| = -kt + C3 （C3：積分定数）　　　⑥
となり、これは
　x = ±e^(-kt + C3) = ±e^C3 × e^(-kt) = C･e^(-kt)　　（C = ±e^C3)　　　⑦
ということになります。

t=0 のとき x(0) = x0 だとすると（初期条件）
　x(0) = C = x0
ですから、⑦は
　x(t) = x0･e^(-kt)　　　⑧
となります。

ただし、お示しの解答ではこのような x の関数形を求めることなく、定積分で⑥ を求めています。
ちょっとわかりづらいやり方なので、⑧のような関数形を求めた方が分かりやすいと思います。
⑧を求めるところまでは、高校数学の積分の範囲内で理解できると思います。

あとは、問題を解くには
半減期を T とすると、半減期の定義から
　x(T) = (1/2)x0
であり、⑧に t=T と代入すれば
　x(T) = x0･e^(-kT) = (1/2)x0
より
　e^(-kT) = 1/2
両辺の対数をとれば
　-kT = log(1/2) = -log(2)
よって
　T = log(2)/k

ここに
　k = 2.0 × 10^(-17) [1/s]
　log(2) = 0.70
を代入すれば
　T = 0.70/[2.0 × 10^(-17)] = 3.5 × 10^16 [s]
秒を「年」に換算すれば
　１年 ≒ 3.0 × 10^7 [s]
とすれば
　T = 3.5 × 10^16 [s] / {3.0 × 10^7 [s/年] ≒ 1.2 × 10^9 [年]