正四面体の内接球の中心について

Question

正四面体の内接球の中心について

いつも大変お世話になっております。
正四面体に内接する球の中心が、その正四面体の１頂点から下ろした垂線上
に存在することがよくわかっておりません。
参考書やネットで確認してみると、
(1)正四面体の中心から各面に垂線を下ろすと、その長さは等しい
(2)対称性から
などとあるのですが、
(1)については、確かにその中心に着目できれば、そうだったとなるのでしょうが、
その中心からスタートするのではない（うまく表現できなくてごめんなさい）方法が
あるのでしょうか？
(2)については、対称性（この対称性については、私の弱いところなので申し訳ございませんが）について、もう少し具体的に説明いただけないでしょうか？

お忙しいとは思いますが、アドバイス頂けると助かります。
よろしくお願いします。

htms42 · Accepted Answer

ちょっともやもやしたものを感じます。

平面の場合で考えてみます。
三角形に内接する円を考えます。
円の中心から各辺に下ろした垂線の長さが等しくなっています。
これが円が「内接している」ということを表しています。
「三角形の内部に円がある」ということと「内部にある円が各辺に接している」ということの違いはこの条件でしか表すことができません。
ここから頂点と中心を結ぶ線は頂角を２等分するという性質が導かれます。
正三角形の場合であれば「角の２等分線を延長すれば対辺と直交する」というのがどの角についても成り立ちます。
「内接する円の中心は頂点から下ろした垂線上にある」と言うことができます。
「正３角形では角の２等分線を延長すると対辺と直交する」というのを証明するときに対称性を使うことも可能です。
でも初めの「円の中心と各辺との距離は等しい（＝中心から各辺に下ろした垂線の長さは等しい）」という条件をはずして対称性の議論だけで内接円を決めることはできません。

あなたの質問に戻ります。
（１）は内接円の定義です。
その前提で
＞正四面体に内接する球の中心が、その正四面体の１頂点から下ろした垂線上に存在する
ことを導くのです。
その時に幾何的に証明する方法の一つとして対称性を利用したものがあるということのはずです。
（１）をはずして対称性からだけでは証明できないことだと思います。

＃３
＞全く同じ状態の正四面体なので、当然内接する球の中心も回転させる前と後では同じでしょう。

内部の球と外部の正４面体が同じ回転軸に対しての対称性を持つはずだという主張です。

共通の対称軸があればもとに戻ります。持たなければもとには戻りません。ただそれだけです。戻らなくても何の矛盾もありません。

垂線が共通の回転対称軸になっていることを証明したいのです。証明したい結果を使っていることになります。
球と正４面体の相対的な位置関係についての議論がなければ決まりません。その時には（１）を使います。

seahorse57 · Answer

#4の方の指摘に関して。

120度回転して云々という考え方には
「正四面体に内接するような球はただ一つしかない」
ということを前提として含んでいます。

２つ以上あったら回転して重ならなくても良いわけです。
というわけで、内接する球がひとつしかないことを説明しないといけないのです。

seahorse57 · Answer

(2)だけ。
正四面体が平らな机の上においてある状況を考えてみましょう。
その状態で正四面体を、上にある頂点から机におろした垂線を軸として120度回転させたとき、正四面体は回転させる前と全く同じ状態になるはずです。
全く同じ状態の正四面体なので、当然内接する球の中心も回転させる前と後では同じでしょう。
ここで仮に内接球の中心が回転軸から外れていたら、120度回転すると中心の位置がずれてしまいます。

つまり球の中心は回転軸上になければおかしいわけです。

yasei · Answer

(1)四面体の各頂点から垂線を下ろし、各線の交点が正四面体の重心であり、内接球の中心になります。
この証明は小学校レベルの知識を三次元に拡張すればできます。

(2)ここで言う対称性というのは『ある平面があって、そこより一方を鏡に写すともう一方と重なり合う』くらいに思って下さい。

nyan-ko · Answer

初めまして 早速ですが

>(1)については、確かにその中心に着目できれば、そうだったとなるのでしょうが、
>その中心からスタートするのではない（うまく表現できなくてごめんなさい）方法が
>あるのでしょうか？

おそらく、内接球の中心から、その面に延ばした線が垂線だと考えられているのではないでしょうか？
垂線とは直線あるいは面に対して垂直に交わる直線のことであり
たとえば この場合 正四面体の外側から引いた線でも垂線となりえます。

>(2)については、対称性（この対称性については、私の弱いところなので申し訳ございませんが）につい
>て、もう少し具体的に説明いただけないでしょうか？

（2）については 察するところ 正四面体の特徴？を述べたもので、全ての面が線対称な図形で構成されていることから どの頂点を通る直線で 二等分しても 分割された図形は合同であることだと思います。

正四面体の内接球の中心について

ちょっともやもやしたものを感じます。

#4の方の指摘に関して。

(2)だけ。

(1)四面体の各頂点から垂線を下ろし、各線の交点が正四面体の重心であり、内接球の中心になります。

この回答への補足

初めまして 早速ですが

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