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三角形ABCの3つの頂点から、それぞれの対辺またはその延長に引いた3つの垂線は、1点で交わることを証明せよ。

という問題で解答が

座標平面上で(0、a)(b、0)(c、0)とし、3点L、M、Nをとる。このときa≠0、b≠c
b=0またはc=0のとき三角形ABCは直角三角形であり
3つの垂線は直角の頂点BまたはCで交わる・・・・?
b≠0かつc≠0のとき直線CA、ABの傾きはそれぞれ、-a/c、-a/bであるから直線BMの方程式はy=c/a(x-b)、直線CNの方程式はy=b/a(x-c)
2直線BM、CNの交点はH(0、-ba/a)でy軸上にある。
ゆえにHは垂線AL上にあるから3つの垂線は1点で交わる。(証明終わり)

の(・・・?)と書いたところがわからないので解説お願いします。

A 回答 (3件)

> b=0またはc=0のとき三角形ABCは直角三角形であり


> 3つの垂線は直角の頂点BまたはCで交わる・・・・?
b=0のとき、三角形ABCは∠Bが直角な直角三角形、でいいですよね。
そのとき、
(1)頂点Aから辺BCに下ろした垂線は辺BCとどこで交わるか・・・あたりまえに頂点B
(2)頂点Cから辺ABに下ろした垂線は辺ABとどこで交わるか・・・あたりまえに頂点B
(3)頂点Bから辺CAに下ろした垂線が必ず通る点は・・・常識で頂点B

(1)、(2)、(3)より頂点Bで3つの垂線は交わる。

c=0のときも同じ。頂点Cで3つの垂線は交わる。

#1さんがおっしゃるとおり、ごちゃごちゃ式をいじる前にまず図を書いてみる。
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この回答へのお礼

くわしい説明ありがとうございます

お礼日時:2007/08/23 07:02

bかcが0のとき、


その座標は(0,0)
また、b≠cなので
これはどうかいても直角三角形になります。
で、直角三角形であるとき垂線を下ろすと、
というか、直角なので、このときまず二つの垂線は、
斜辺以外の二辺に等しいです。
それは△ABCのうち、
Bが(0,0)のときの辺AB、辺BC
Cが(0,0)のときの辺AC、辺CB
残った一つの垂線は絶対に残った(0,0)即ちBないしCを通るので
3つの垂線は直角の頂点BまたはCで交わるといえます。
納得いかなかったら座標を作って書いてみてください。
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この回答へのお礼

解説ありがとうございます

お礼日時:2007/08/23 07:01

条件を満たす直角三角形を描いてみればいいのに.

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この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます

お礼日時:2007/08/23 07:00

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