√－9の答えについて教えてください。√9i＝±3iと回答して×になりま

√－9の答えについて教えてください。√9i＝±3iと回答して×になりました。答えは3iだそうですがどうして±3iではないのですか？わかりやすくお願いします。

No.21 回答者： quaestio 回答日時： 2010/04/22 21:38

∀(すべて)と∃(存在)に泣く―数学の盲点とその解明（石谷 茂, 現代数学社) に「ルートの中は虚数でもよいか」という章があり、複素数zの二つの平方根のうちどちらを√zで表すかということに触れられています。

それによると、z<0の場合√z = (√-z)iとはっきり定められているそうです。

No.20 回答者： noname#111804 回答日時： 2010/04/22 18:16

√[（－１）（－１）]

＝√[exp（πi）exp（πi]
＝√[exp（２πi）]
＝√１

であって

√１＝√exp（４πi）ではない。

No.19 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2010/04/22 15:18

＃すみません、ルール違反です。

sakurada6さん、No.18の件で教えてください。

√exp(θi)＝exp((θ/2)i)---(a)
が成立するという定義（これが成立するかどうかは今は置いておきます）があるという前提で

> √１
> ＝√exp（２πi）
> ＝［exp（２πi）］＾(1/2）
> ＝exp（πi）
> ＝－１

を導き出されていると解釈しました。もしこの解釈が間違いでないとした場合

√１
＝√exp（４πi）
＝［exp（４πi）］＾(1/2）
＝exp（２πi）
＝１

も成立する（複素平面における極形式において、(a)でのθの範囲は実数全域を取れるため）と思うのですが、これについてはいかがですか？

No.18 回答者： noname#111804 回答日時： 2010/04/22 11:32

［√（ー１）（－１）］＝（√ー１）（√ー１）はなりたつ。

√１＝１が誤り。・・・・（１）

（√１）＾２＝√［（１）＾２］＝１はただしい。


（１）の説明

√１
＝√exp（２πi）
＝［exp（２πi）］＾(1/2）
＝exp（πi）
＝－１

No.17 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2010/04/22 01:46

No.2です。

『通常』（←これが一番やっかいなところですが）、正の実数αに対し、√αは「2乗してαとなる実数のうち正の数」と定義されます（√0は0とします）。よって√α＞0であり、αの平方根は±√αとなります。

ここで複素数領域まで拡張したとき、負の実数βに対し、「√β＝(√|β|)i」と置かれます。よって√-9＝(√|-9|)i＝(√9)i＝3iとなります。

ただし、これはあくまで「一般的な解釈」であり、記号（√）を再定義したうえで議論するのであればこの限りではなくなります。結局はこの最初の定義をどのようにしているかというところにかかってきます。

なお、複素数領域まで拡張した際にf(x)＝√xと定義した場合、一般的にf(x)f(y)＝f(xy)は成り立ちません※。

※もしf(x)f(y)＝f(xy)が成立するとなると
-1＝i・i＝√-1・√-1＝√(-1)(-1)＝√1＝1
となり矛盾が出てきます。

この回答へのお礼

√αは２乗してαとなる実数のうち正の数・・・というのが頭にありませんでした。中学のころ9の平方根は±3と習ったのがずっと頭にあって。複素数領域とかそんな高レベルの質問ではなかったんです。すみません。

お礼日時：2010/04/26 07:41

No.16 回答者： noname#111804 回答日時： 2010/04/21 23:50

√９＝±３・・・・・（１）

である。
なぜなら、両辺を２乗してみるとよい。
９＝９が成り立つ。
つまり、（１）式が正しいことが証明された。

No.14 回答者： noname#111804 回答日時： 2010/04/21 22:32

√－9

=√9i
=［（√３）ｘ（√３）］i
＝［３］i
＝＋３i


√－9
=√9i
=（√ー３）（√ー３）i
＝［{（√３）i}＾２］i
＝［３(i）＾２］i
＝－３i

ゆえに

√9i＝±3i

No.13 回答者： noname#111804 回答日時： 2010/04/21 15:56

√－9

=√9i
=（√ー３）（√ー３）i
＝{（√３）i}＾２(i）
＝３(i）＾２(i)
＝－３i

No.12 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/21 13:06

√(-9) = (√9)i で定義して話が進められる

と思うのであれば、ぜひ、その話の延長上で
√(-i) を x+yi の形に表示してみて欲しい。

そのとき「おや？」と思うだけのセンスがあれば、
√(-9) の答えも、きっと見つけることができる。

No.11 回答者： xNekoNyanx 回答日時： 2010/04/21 12:35

う～ん、確かにここのご意見を参考に見直してみましたところ、厳密に言えば±3iが正しいと言えそうですが、しかし虚数という特性上それがまた正しいとも思えないのです。

難があるとしたら、√-9という数は√-9という絶対的な数なのであって、√9*iと同じたり得ず、したがってそもそも±3iという表記に変換しようとすることにそもそも無理がある、といったところでしょうか。

ということで、もう少し視点を変えて考えてみましょう。

そもそも、数値を定義するとはどういうことか？
それは例えば二次関数であれば、xy平面上に任意の点を取るということでしょう。
では、√-9という数値を定義するということはというと・・・
複素数平面上の任意の点を取る（住所を決めてやる）ということになります。
ここで√-9をどう考えるかということですが・・・
これは要するに虚数軸のどちらにどれだけの大きさのベクトルを持っているかということになるでしょう。
さて、そこで√-9を虚数軸上のベクトルとして考ると、これはi*√9なので、虚数軸のプラス方面に|√9|進んだ数ということになります。
逆に「-3i」という住所を考えた場合、それはi*-√9でなければならず、仮に√-9=-3iを成り立たせるとしたら√9=-3でなければいけません。したがって、複素数平面上で√-9を定義する場合、虚数軸のプラス方面に√9(=3)コぶん進んだ数という認識をすべきことになります。

要するに、虚数i=√-1と定義している以上、計算式で考えるときりがないので、平面上での点として捉えたほうがわかりやすいのではないかと。
例えば√-9=√9i=±3iとした場合、これは即ち「3i=-3i」を主張するのと同義であり、踏み込んで言えばこれも数式上では証明できるのかも知れませんが、少なくとも複素数平面上では3i≠-3iであることは一目瞭然ですよね。

そもそも虚数は実数ではないので、実数の一般認識上で考えることに無理があり、むしろ複素数平面という盤上で論じるところに価値があると考えているのですが、どうなのでしょうか。