√－9の答えについて教えてください。√9i＝±3iと回答して×になりま

√－9の答えについて教えてください。√9i＝±3iと回答して×になりました。答えは3iだそうですがどうして±3iではないのですか？わかりやすくお願いします。

No.10 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/21 10:44

あるいは、±3i という書き方が、

説明不足で意味不明と受けとられた
のかもしれない。

きちんと…
√(-9) = 3i または √(-9) = -3i のどちらか
であるが、どちらであるかを決めるには、
複素関数 √ の枝を、あらかじめ指定
していなければならない。
枝の指定がなければ、そもそも
√(-9) という式の意味が定義できてない。
…と、答案に書けばよかったのかも。

√(-9) = 3i が完全に×なのに比べ、
√(-9) = ±3i なら間違いとも言いきれない
気がするけれども。×なのかねぇ…

No.9 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/04/20 22:57

もし，あなたが高校生なら，「×」で当然です．

高校での教科書では，通常
√(-9)＝(√9)i
で定義して，話が進んでいきます．
要は，どのような定義に基づいて解答するのかです．


ところで，
√(-9)＝(√9)(√-1)
この表現は，誤解を生じさせる原因となります．
私は，やめた方が良いと考えます．

No.8 回答者： noname#111804 回答日時： 2010/04/20 22:47

最近流行のスレ主でごわす。

√ー９
＝（√９）i
＝＋3i
------------------------
ー√ー９
＝ー（√９）i
＝ー3i

------------------------

±√ー９
＝±（√９）i
＝±3i

この回答へのお礼

なるほど。わかりやすいです。ありがとうございました。

お礼日時：2010/04/26 07:33

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/20 20:20

貴方のほうが正しい。

√(-9) は、3i または -3i であって、
そのどちらであるかを特定する方法は、
複素数の世界には存在しません。

√(-9) という式を見て意味が決まるのではなく、
3i の意味で書いたのか、-3i の意味で書いたのかを
付記しておかなければ、
√(-9) という式は意味をなさない。

√(-9) = (√9) √(-1) としてはイケナイことは、
最近このサイトで流行の
√(-1)×√(-1) 問題でも参照してください。

No.6 回答者： proto 回答日時： 2010/04/20 20:15

うーん、何か引っかかるので解答させてもらいます。

まず√(-9)=±3iが不正解だった事について。この解答は、まぁ不正解でしょう。
何故なら√(-9)という風に書いたとき、それは一つの数を表しているとしたほうが扱いやすい。
しかし
　　√(-9) = ±3i
としてしまっては、√(-9)と書いただけで3iと-3iの二つの数を表すことになってしまう。
だからこのような書き方は不正解。そう思います。
少なくとも高校の範囲では。

では、
　　√(-9) = 3i
と書くのが正解なのか？私はこの部分に疑問を感じます。
結論から言うと
　　√(-9) = -3i
と書いても正解ではないかと思うのです。


他の方が書かれているように
＞　√9=3であるが、√9=-3ではない。
これは正しいと思います。その根拠から見ていきましょう。

√aの定義は『2乗するとaになる数のうち正のもの』です。
これに従って考えると、2乗して9になる数には3と-3の二つがありますが、二数のうち正であるのは3だから
　　√9 = 3
と書くのが正しくて、-3は2乗したとき9にはなるものの正数ではないので
　　√9 = -3
と書くのは間違っているのです。
私が知る限り高校での知識で言えるのはここまでです。

同じように、√(-9)について考えましょう。
虚数単位を持ち出せば、2乗して-9になる数は3iと-3iの二つがあります。
では、3iと-3iのうちどちらが正なのか、考えたことありますか？

正解は"3iも-3iも正負のつけようがない"のです。
簡単に証明してみましょう。
　　3i > 0
と仮定して、両辺に3iを掛けます、
　　-9 > 0
通常の実数の定義からすれば-9<0であるので矛盾。
次に
　　3i < 0
と仮定して、両辺に3iを掛けます、
(両辺に負の数を掛けるので不等号が逆転することに注意して)
　　-9 > 0
またもや矛盾が出ました。
結局3i>0と仮定しても3i<0と仮定しても矛盾が出るので、3iの正負を決定することは出来ません。
-3iについても同様のことが言えます。
一般に複素数全体の集合は順序のつけられない集合としてよく知られているのですが、これは高校の範囲で習うことではありません。

このように√aの定義に従おうと思っても、3iと-3iのうち正の方を一つ選ぶ事なんて出来ないのです。
ですから、
　　√9 = 3i
と書いて正しいのなら
　　√9 = -3i
と書いて間違いな理由も無いはずなのです。


私の記憶するところに依れば、高校の複素数の単元の最初では
　　『√(-1) = iと定義する』
と"定義"してあった様に思うのです。
このように定義すれば、それは"定義"ですから√(-9)=-3iを間違いとする根拠も出てきます。

しかし更に注意しなければならないのは、√(-1)=iとするのは平方根の性質から導き出された定理ではなく、ただの定義であり、
　　√(-1) = -i
と定義して、複素数を扱っても何の矛盾も生じないと言うことです。

今回の問題に「ただし√-1=iと定義する」とでも書かれていれば話は別なんですが。


更に余談です。
高校まででは無理関数y=√xはx≧0のみで定義されますが、大学に行けばもっと一般に複素数全体を考えて複素関数w=√zを定義します。
zは複素数ですからもちろん-9を代入することに問題はありません。
その場合、無理関数w=√zは一つのzについて二つのwを持つ多価関数(二価関数)として扱われます。

高校まででは関数は一つのxに対して一つのyを対応させるものであり、多価関数なんてものは登場しないので、そもそも高校の範囲でルートの中に負の数を入れた問題を出すこと自体多少無理のある話なのです。

No.5 回答者： xNekoNyanx 回答日時： 2010/04/20 17:23

虚数iとは√(-1)のことです。

したがって、√(-9)⇒√{9*(-1)}⇒√9*√(-1)⇒(√9)*iとなります。

さて、√というのは数の絶対値を示すものです。
したがって、マイナス側の数を示す時には『-√』という表記が必要になります。
例えば『√1』なら『1』、『-√1』なら『-1』になりますよね？
同様に『3』なら『√9』、『-3』なら『-√9』となるのであって、『-3』が『√9』とはならないはずです。

もう少し概念的な話をすると、要するに二乗とは異なり
　-3⇒-(3)⇒-{√(3)^2}⇒-(√9)
となるのであって、
　-3⇒(-3)⇒√(-3)^2⇒√9
とはなりません。

要するに、『3』を『√9』とみなしても差し支えないかもしれませんが、『-3』を『√9』とはみなさないでしょう？そういうことです。

No.4 回答者： ddeana 回答日時： 2010/04/20 14:34

ルートの定義（±）については既に回答があるので、イマジナリーナンバー(i）についてだけご説明します。

まずお約束事として、i＝√-1　で、－1＝（√-1)^2＝i^2　（^2で○○の2乗という意味です）で、iは2乗させてもゼロを超えることはないというのを覚えてください。

また、ルートの中に負の整数がある時はまずiのパートを独立させるところからはじめるとわかりやすいです。

・√-25＝√25ｘ√-1、　√-1＝iで、√25＝5　だから答えは5iとなります。
ルートの前にマイナスサインがある場合は次のように考えます。
・-√-6＝-√6ｘ√-1、√-1＝iですから答えは　－√6iとなります。

なので
・√－9＝√9ｘ(－1）：ルートの中に(9×－1）
・√－1＝iなので
・√9√－1＝√9ｘi=3i
となります。

No.3 回答者： titokani 回答日時： 2010/04/20 14:21

x^2=9であるとき、

x=±√9
x=±3
ですよね。
ここで
√9=±3
だと、
x=±±3
となってしまってなんだかよくわからない状態になりませんか？

No.2 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2010/04/20 13:28

「√」そのものには符号はつかない（＋扱いとする）という定義に基づきます。

もし問題が±√-9であるなら±3iとしてもよいですが、√の前に符号がついていないなら-3iにはなりません。

この回答へのお礼

√そのものには符号はつかないんですね。勘違いしていました。ありがとうございます。

お礼日時：2010/04/26 07:30

No.1 回答者： kotoby2003 回答日時： 2010/04/20 13:27

√4=2

であって、
√4=+-2
ではないですよ。

つまり、ルート（平方根）というのはそういう定義だからです。
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%AD%A6% …

この回答へのお礼

√の定義を勘違いしていたかもしれません。負の数は入らないのですね。ありがとうございました。

お礼日時：2010/04/26 07:28