数学的帰納法の問題です

数学的帰納法の問題です

任意の自然数a,bについて、
a<b,b<a,a=b
のうち、ただ一つが成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ

ただ一つが成り立つことを数学的帰納法から導くイメージがつかめず、なかなか証明方法が思いつきません。

ぜひこの証明方法を教えてください。よろしくお願いします。

No.1 回答者： osu_neko09 回答日時： 2010/04/20 21:09

このような導き方はいかがでしょうか。

自然数ａ，ｂがともに１以下のとき、a<b,b<a,a=bのうち、ただ一つが成り立つ
自然数ａ，ｂがともにｋ以下のとき、a<b,b<a,a=bのうち、ただ一つが成り立つと仮定する。
さて、自然数ａ，ｂについて、自然数ａ，ｂがともに（ｋ＋１）以下とする。
・自然数ａ，ｂは、ともに（ｋ＋１）と等しい
・自然数ａ，ｂは、ともに（ｋ）以下である
・自然数ａは、（ｋ＋１）と等しく、自然数ｂは、（ｋ）以下である
・自然数ｂは、（ｋ＋１）と等しく、自然数ａは、（ｋ）以下である

自然数ａ，ｂは上記のいずれかであるから、
（中略）
自然数ａ，ｂがともに（ｋ＋１）以下のとき、a<b,b<a,a=bのうち、ただ一つが成り立つといえる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。とても参考になります。

お礼日時：2010/04/21 19:36

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/20 22:12

それには、まず、

「自然数」の定義と、「自然数の大小」の定義を
与えなければ、証明が意味を成さない。

No.3 ベストアンサー 回答者： funoe 回答日時： 2010/04/21 10:13

*)すくなくとも私は「理解してもらいたい」との思いで回答しています。

レポート等へ丸写しして提出するようなことのないよう希望しています。
その意味で理解できたところ、分かりにくかったところなど補足して
もらえたらうれしく思います。


先問と同様、後継関数はｓを用います。
大小の定義は、∃ｃ、ａ＋ｃ＝ｂ　⇔　ａ＜ｂ　でＯＫですよね。
加法の定義は、
　・ａ＋１＝ｓ（ａ）
　・ａ＋ｓ（ｂ）＝ｓ（ａ＋ｂ）　でＯＫですよね。



（大きな方針）
ａに関して数学的帰納法でしめしましょう。
ａ＜ｂまたは、ａ＝ｂまたは，ｂ＜ａ　が成り立つとき
・少なくとも、s(ａ)＜ｂまたは、s(ａ)＝ｂまたは，ｂ＜s(ａ)　が成り立つ。
・ａ＜ｂ、ａ＝ｂ，ｂ＜ａ　の２つ以上が同時に成立することはない
　の2段階に分けて示しましょう。


--
既知の定理として次を利用します。
・交換則(可換性)　ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
・結合則　（ａ＋ｂ)＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）　
・後継関数ｓの逆像の存在　ｃ≠１　⇒　∃ｃ’，ｓ（ｃ’）＝ｃ
　　（これは数学的帰納法の公理から容易に示せますよね）
これらは証明済みとします。　

--
1）ａ＝１のとき。
1-1)ｂ＝１なら　ａ＝ｂが成り立つ。
1-2)ｂ≠１なら　∃ｃ、ｓ（ｃ）＝ｂ
　１＋ｃ
　＝ｃ＋１　　・・・可換だから
　＝ｓ（ｃ）　・・・加法の定義
　＝ｂ
　すなわち　１＋ｃ＝ｂ　なので　１＜ｂ
　以上より、ａ＝１ならばａ＝ｂまたはａ＜ｂのいずれかが成り立つ。

2）ａに関して、ａ＜ｂまたは、ａ＝ｂまたは，ｂ＜ａ　が成り立つと仮定する。
2-1)ａ＜ｂが成り立つとき　
　∃ｃ、ａ＋ｃ＝ｂ
2-1-1)ｃ＝１のとき
ａ＋１＝ｂ　より
s(a)＝ｂ　　が成り立つ
2-1-2)ｃ≠１のとき
∃ｃ’、ｓ（ｃ’）＝Ｃ
ｓ（ａ）＋ｃ’
＝ｃ’＋ｓ（ａ）　・・・可換だから
＝ｓ（ｃ’＋ａ）　・・・加法の定義
＝ｓ（ａ＋ｃ’）　・・・可換だから
＝ａ＋ｓ（ｃ’）　・・・加法の定義
＝ａ＋ｃ　　　　　
＝ｂ　　　より、ｓ(ａ）＋ｃ’＝ｂ　すなわちｓ（ａ）＜ｂ　が成り立つ

2-2)ａ＝ｂが成り立つとき
ｓ（ａ）
＝ａ＋１
＝ｂ＋１　　より　ｂ＜ｓ（ａ）　が成り立つ

2-3)ｂ＜ａが成り立つとき
∃ｃ、ｂ＋ｃ＝ａ
ｓ（ａ）
＝ａ＋１
＝（ｂ＋ｃ）＋１
＝ｂ＋（ｃ＋１）
＝ｂ＋ｓ（ｃ）　　より　ｓ（ａ）＝ｂ＋ｓ（ｃ）　すなわち　ｂ＜ｓ（ａ）　が成り立つ

以上より、ａ＜ｂまたは、ａ＝ｂまたは，ｂ＜ａ　が成り立つとき
　　　　s(ａ)＜ｂまたは、s(ａ)＝ｂまたは，ｂ＜s(ａ)　が成り立つ


3)ａ＜ｂ、ａ＝ｂ，ｂ＜ａ　が同時に成り立たないこと
3-1)ａ＜ｂ　かつ　ａ＝ｂ　とすると
ａ＜ｂから∃ｃ、ａ＋ｃ＝ｂ　より
ａ＋ｃ＝ａ
一方任意のｘについて　ａ＋ｘ≠ａ　（先問参照）より矛盾。従ってａ＜ｂかつａ＝ｂとはならない。
3-2)ｂ＜ａ　かつ　ａ＝ｂ　も同様に成り立たない。
3-3)ａ＜ｂ　かつ　ｂ＜ａ　とすると
∃ｃ、ａ＋ｃ＝ｂ
∃ｄ、ｂ＋ｄ＝ａ
ａ
＝ｂ＋ｄ
＝（ａ＋ｃ）＋ｄ
＝ａ＋（ｃ＋ｄ）　　　・・・・結合則
一方任意のｘについて　ａ＋ｘ≠ａ　（先問参照）より矛盾。従ってａ＜ｂかつｂ＜ａとはならない。

この回答へのお礼

また私の質問に答えてくださりありがとうございました。a<b,b<a,a=bがただ一つ成り立つという所を、必ずこの条件のうちのどれかが成り立ち、同時には成り立たないと考えれば良かったんですね。あと、矛盾を導くことも証明ではやはり大事なんですね。長い回答していただきありがとうございます。

お礼日時：2010/04/21 19:28

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/21 13:35

前言を反省して、自然数の定義に依らない証明 :

順序関係 a≦b が与えられたとき、派生して、
a≧b ⇔ b≦a,
a=b ⇔ (a≦b かつ a≧b),
a≠b ⇔ (a=b でない),
a＜b ⇔ (a≦b かつ a≠b),
a＞b ⇔ (a＞b かつ a≠b)
にて、諸関係を定義する。

定義により、a＜b, a=b, a＞b が
重複して成立しないことは自明。

もとの a≦b が全順序であれば、
三つのうちのどれかは成立する。

この回答へのお礼

すいません。わざわざ回答してくださりありがとうございます。そのような考え方もあるんですね。

お礼日時：2010/04/21 19:31