
α、βをα^2+αβ+β^2=0を満たす0でない異なる複素数と定義して
(1)β/αを求める。
(2)原点O、A(α)、B(β)を頂点とする3角形の3つの角度は?
(3)A(α)、B(β)、C(β^2/α)が表す点を頂点とする3角形の3つの角度は?
(1)は条件式をα^2で割って解の公式を用い、β/α=-(1/2)±(√3)i/2
とでました。
(2)(1)から∠AOB=±120°とだけでましたが、他の角度が・・・
(0-β)/(α-β)=β/(β-α)=(β/α)/{(β/α)-1)}
=(-1±√3i)/(3干√3i)??
複素数よくわからないよぅ。
掛け算、割り算は回転と拡大縮小というのはわかるのですけど。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)でβ/α は1の3乗根の虚数解です。
絶対値が1と言うことは|α|=|β|
(2)2等辺三角形
(3)β^2/α=(β/α)β
βを原点の回りに120°回転(-120°)
三点の絶対値は等しいので円周上の点
No.2
- 回答日時:
ojamanboさんの回答が出てますので参考程度に
(a+ib)^2+(a+ib)(c+id)+(c+id)^2=0
1+{(c+id)/(a+ib)}+{(c+id)/(a+ib)}^2=0
z={(c+id)/(a+ib)}≡[β/α] {≡:と置く。}
={{(ac+bd)+i(ad-bc)}/(a^2+b^2)}
1+z+z^2=0
z=(-1±√(1-4))/2=-(1/2)±i√3/2
|z|=1
argz=argα-argβ=±{π-π/3}=±120°
(2)原点O、A(α)、B(β)を頂点とする3角形の3つの角度は?
|z|=1 だから、例えばαを基準に考えると、
a=1, b=0, と置けば、α=(a+ib)=1
z=(β/α)=β=-(1/2)+i√3/2, -(1/2)-i√3/2
だから三角形OABは頂角を120°とする二等辺三角形、
他は30°ずつですね。
(3)A(α)、B(β)、C(β^2/α)が表す点を頂点とする3角形の3つの角
α=1 と考えれば、
C=(β/α)*β=β*β=argβ+argβ=±240°
B(β)にたいしてC(β^2/α)はさらに±120°回転したということ。
だからABCはそれぞれ、
1*e^i0, 1*e^i(2π/3), 1*e^i(4π/3)
にありますね。{註: r*e^iθ=|z|*{cosθ+isinθ} }
だから、ABCは頂角がそれぞれ60°の正三角形になりますね。
基準を考えればわかりやすいですね。
ojamanboさんの解説で、何とか解けました。
僕の考えたのとは違うやり方だってのでとても参考になりました。
どうもありがとうございましたー!
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