線形写像と線形変換

線形写像と線形変換

V , W をK上のベクトル空間とする。このときベクトル空間Vからベクトル空間Wへの写像fが、
Vの任意の要素x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fをVからWへの線形写像と言う。
これが線形写像の定義です。
別の記載では、R^n,R^mをk上のベクトル空間とする。このときベクトル空間R^n からベクトル空間R^m
への写像f がR^nの任意の要素x,yに対して f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fを R^n からR^m
への線形写像という。

ここで、テキストにはfがVからV自身への線形写像である時fを線形変換と呼ぶと記載されているのですが、
「VからV自身への線形写像」のイメージがあまりつきません・・・
次元が同じ場合であれば線形変換？と思ったのですが間違いでしょうか？

よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/02 22:24

「V から V 自身へ」と「次元が同じ」は、同じ内容のことを言っています。

基礎体 K が共通で、次元も同じベクトル空間どうしは、同型ですから。

（たいへんつまらないことですが、k 上のベクトル空間は、R^n ではなく
k^n と書いたほうがよいです。k と R の関係が何だかわかりません。）

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
よくn次元ベクトル空間はR^nと表記されているのでRとした次第です。
ご指摘頂いた内容を修正しました。
R^n,R^mをR上のベクトル空間とする。k∈Rである。
ベクトル空間R^n からベクトル空間R^m への写像f がR^nの任意の要素x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)
とすれば問題ないでしょうか？
Rは実数の場合に使われると思っていますが、kは複素数や虚数でも成り立つと思うのでやはり
基礎体はKとして表記した方が正しいでしょうか？よく分からなく成って来ました・・・

nやmに関してはn,mは実数を前提として基礎体をRとしているのでわざわざn,m∈Rと表記する必要は無いと考えて
いるのですが、n,m∈Rも表記した方が良いのでしょうか？

初歩的な質問ですいません・・・よろしくお願い致します。

補足日時：2010/06/04 02:09

この回答へのお礼

参考書などを見てみましたが、それらしい回答を得られませんでした。
ご回答よろしくお願い致します。

お礼日時：2010/06/05 20:41