虚数単位について

虚数単位について

なんで虚数単位の絶対値は1と言えるんでしょうか？
√(-1)の絶対値はどういうふうに計算したら1なんでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/06 16:19

複素数 z の「絶対値」の定義は、

z と (z の共役複素数) の積の √ です。

虚数単位 i の共役複素数は -i ですから、
i の絶対値は、√1 になります。

この回答へのお礼

お三方ともありがとうございました。
一番わかりやすい回答をしてくださったのでベストアンサーに選ばせていただきます。

お礼日時：2010/06/07 17:28

No.4 回答者： tonsaku 回答日時： 2010/06/06 18:30

「単位」とは、平たく言えば「１」、つまり「基準となる量(数)」のことを言います。

　単位円：半径１の円
　単位ベクトル：大きさ１のベクトル
など、使いますよね？物理なら「単位時間」などという表現も使います。（通常は１秒のこと、場合によっては１時間だったり）

虚数「単位」というからには、基準となって、それを基に他の虚数(あるいは複素数)が計算しやすくなるようなものを選ぶべきでしょう。
だから、√(-2)でもなく、√(-10)でもなく、√(-1)が「虚数単位」といわれます。
そうすると、他にややこしい計算法則を定義せずとも、実数とよく似た計算が適応できるからです。

虚数単位√(-1)の絶対値を基準(=1)と定めると、そのルールの下で、実際の虚数・複素数範囲での"絶対値"の計算法則は他の回答者様がおっしゃる通りです。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/06 16:28

ちなみに、共役複素数というのは、

もとの複素数を根に持つ最小次数の
実係数多項式の、その他の根のことです。

i の共役複素数であれば、
方程式 x↑2 + 1 = 0 の、x = i 以外の解
がソレにあたります。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/06/06 15:37

複素平面で考えて下さい。

z=√(-1)=i=0+i*1
を複素平面上にプロットしてみてください。(a,b)=a+biと表すことにすると
原点をO(0,0)として、z=iは点P(0,1)にプロットされます。
zの絶対値はOPの長さ（距離）ですから、|z|=|i|=OP=1
となりますね。