アフィン写像について

Question

アフィン写像について
アフィン写像の説明で、
アフィン写像は、アフィン空間の構造を保つような写像のことである。
とくに始域と終域が同じであるようなアフィン写像をアフィン変換という。
という説明があったのですが、
始域と終域が同じとはどのような事なのでしょうか？
同一集合（次元が同じ？）のことを指しているのでしょうか？
 
また、私の認識では、アフィン変換が作用する先はベクトル空間だと思うのですが、
アフィン空間の構造を保つと言うからにはアフィン変換の作用先はアフィン空間なのでしょうか？
 
ご回答よろしくお願い致します。

muturajcp · Accepted Answer

f:X→Y
f(x)=g(x)+c
で
X=Y同一集合であってもgが正則線形変換を満たさなければ、fは全単射とならない。
また、逆写像f^{-1}はfが全単射で
X≠Y同一集合でない場合のf^{-1}で,
逆変換f^{-1}はfが全単射で
X=Y同一集合である場合
のf＾{-1}である
との解釈で正しい
つまり逆写像と逆変換は同一集合かそうでないか
で言葉として
使い分けられると解釈してよい

muturajcp · Answer

例3)
f:R→R（Rは実数全体）
x∈R→f(x)=0
とすると、fは全単射にはならないが
fは同一集合への対応となる
同一集合であっても、全単射とならない。
同一集合への写像であっても正則線形変換を満たさなければ、
全単射とならないという事です。

例4)
f:{0}→{1}
f(x)=x+1
とすると
{0}≠{1}で
同一集合でないから(アフィン)変換でないが
全単射写像となる

muturajcp · Answer

f(x)=1だからa*f(x)=a*1 なのでx=1とはなりません。
例1）
R={x|xは実数}={全実数}とする
f：R→R,全ての実数x∈Rに対して→
f(x)=1
と関数fを定義する
任意のa+b=1となるa,b∈Rと任意のx,y∈Rに対して
→
f(x)=1だから両辺にaをかけてa*f(x)=a*1=a
f(y)=1だから両辺にbをかけてb*f(y)=b*1=b
a*f(x)+b*f(y)=a+b=1=f(ax+by)
となるが
fは全単射でないから
fはアフィン変換でない

muturajcp · Answer

例2)
f:{1}→{1}
f(x)=1
例2）は正則線形変換を満たす
f(x)=xとなる理由は、f：｛1｝→｛1｝だからと言う認識で良い

例3)
f:R→R
f(x)=0
線形変換を満たすが、アフィン変換は満たさない
正則線形変換を満たさなくても定義に従い線形変換は満たすと言う解釈で良い

例1)
R={x|xは実数}={全実数}とする
f：R→R,全ての実数x∈Rに対して→f(x)=1と関数fを定義する
ので
定義域はx=1だけとはなりません。xは1を含むすべての実数をとります。
定義域がRだから、全単射でないのであって、
定義域を{1}だけに限ると別の関数(例2)f:{1}→{1}となり、
全単射となります。

muturajcp · Answer

例1）
R={x|xは実数}={全実数}とする
f：R→R,全ての実数x∈Rに対して→
f(x)=1
と関数fを定義する
任意のa+b=1となるa,b∈Rと任意のx,y∈Rに対して
→f(ax+by)=1=a*1+b*1=af(x)+bf(y)
となるが
fは全単射でないから
fはアフィン変換でない

例2)
f:{1}→{1}
f(x)=1
とすると
f(x)=x=1*x+0=gx+0,g=1≠0 となる g=1が存在する

例3)
f：R→R
f(x)=0
「
線型変換の定義： [1]
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、
x,y∈V, a,b∈K, について常に f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。
」だから
任意のa,b,x,yに対して
→f(ax+by)=0=a*0+b*0=af(x)+bf(y)
となるから
定義より線形変換である
が
f(x)=gx+c　,g≠0となるgが存在しないから
アフィン変換でない。

muturajcp · Answer

始域・終域が一致すれば全単射（一対一での対応）ではありません。
始域=終域=値域とできれば、全単射（一対一での対応）になるかもしれません。
訂正します。
アフィン変換でないアフィン写像の例）
f：X=R→{1}=Y
f(x)=1
X=始域=R≠{1}=終域=Y=値域
任意のa+b=1となるa,bと任意のx,yに対して
→f(ax+by)=1=a*1+b*1=af(x)+bf(y)
となるが
f(x)=gx+c　,g≠0となるgが存在しないから
アフィン変換でない。

全単射でない線形変換の例)
f：R→R
f(x)=0
任意のa,b,x,yに対して
→f(ax+by)=0=a*0+b*0=af(x)+bf(y)
となるから線形変換であるが
f(x)=gx+c　,g≠0となるgが存在しないから
アフィン変換でない。

muturajcp · Answer

始域=f(ax+by),終域=af(x)+bf(y)ではありません。
訂正します。
アフィン変換でない例）
f：X=R→R=Y
X=始域=R=終域=Y
f(x)=1
任意のa+b=1となるa,bと任意のx,yに対して(x=y=1,a=b=1/2でなくてもよい)
→f(ax+by)=1=a*1+b*1=af(x)+bf(y)
となるが
f(x)=gx+c　,g≠0となるgが存在しないから
アフィン変換でない。
f(x)=g(x)+c,|g|≠0となるgが存在しない
(fが全単射（同型写像）であるための必要条件として、gが正則線形変換を満た
さない)
からアフィン変換でない

アフィン変換の例)
f:X=R→R=Y
X=(fの始域)=R=(fの終域)=Y
f(x)=x+1
任意のa+b=1となるa,bと任意のx,yに対して(x=y=1,a=b=1/2でなくてもよい)
→f(ax+by)=ax+by+1=ax+by+a+b=a(x+1)+b(y+1)=af(x)+bf(y)
f(x)=gx+1,g=1≠0
fはアフィン変換

アフィン変換の定義
「体 K 上のアフィン空間W 上の変換 f で、x,y∈W, a,b∈K, について
a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立ち、全単射写像で
あるもの」
でよい。

muturajcp · Answer

アフィン変換の定義を
「体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、x,y∈V, a,b∈K, について
a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。」
とするのは正しくありません。
アフィン変換でない例)
f:R→R
f(x)=1
f(ax+by)=af(x)+bf(y)
始域=終域
f(x)=gx+c,g≠0　となるg,cがあるとすれば、
f^{-1}(y)=(y-c)/gが存在してfは全単射となるが
f^{-1}は存在しないからfは全単射でない
f(x)=g(x)+c,gは正則線形変換という形にならないから
fはアフィン変換でない。

alice_44 · Answer

∀x,f(x)=1 の例は、
｛1｝= fの値域 ⊂ fの終域 = R = fの始域
だよ。
最初に、f:R→R って書いてあるでしょ。

そもそも、アフィン写像とアフィン変換を
区別することが無意味なのだけれど。

muturajcp · Answer

Vをn次元ベクトル空間とし、
Eを集合とする。
+:E×V→E,P∈E,a∈V→P+a∈E
が定まり次の法則が満たされるとき、Eをアフィン空間といい、Eの要素を点という
(1)P∈E,0∈V→P+0=P
(2)P∈E,a,b∈V→(P+a)+b=P+(a+b)
(3)∀P,Q∈E→　Q=P+a　となる　a　がただ１つ存在する
このとき V を E の標準ベクトル空間という
Eの1点oを指定すれば、P=o+xによって、点Pとベクトルxが1対1に対応する
このときxを点Pの位置ベクトル
oをその原点(始点)といい、x=(o→P)と表す。

Eをアフィン空間
VをEの標準ベクトル空間とする
o∈E に対して
α:E→E, P∈E→α(P)∈E
∃g:V→V,gは正則線形変換,det(g)=|g|≠0
∃c∈V
 (o→α(P))=g((o→P))+c
となるとき
αをアフィン変換という。(αはoに依存する)

「
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、
x,y∈V, a,b∈K, について a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。
」
であっても f は　アフィン変換でない場合があります。

アフィン変換でない例)
f:R→R
f(x)=1
x=y=1, a=1/2,b=1/2,→f(ax+by)=1=(1/2)*1+(1/2)*1=(1/2)f(1)+(1/2)f(1)=af(x)+bf(y)
f(x)=gx+1,g≠0　となるgは無い
(fの始域)=R≠{1}=(fの終域)で始域と終域が同じでない
からfはアフィン変換でない

アフィン変換の例)
f:R→R
f(x)=x+1
x=y=1, a=1/2,b=1/2,→f(ax+by)=f(1)=1+1=2=(1/2)*2+(1/2)*2=(1/2)f(1)+(1/2)f(1)=af(x)+bf(y)
f(x)=gx+1,g=1≠0
(fの始域)=R=(fの終域)で始域と終域が同じだから
fはアフィン変換

アフィン写像について

f:X→Y

この回答への補足

例3)

この回答への補足

f(x)=1だからa*f(x)=a*1 なのでx=1とはなりません。

この回答への補足

例2)

この回答への補足

例1）

この回答への補足

始域・終域が一致すれば全単射（一対一での対応）ではありません。

この回答への補足

始域=f(ax+by),終域=af(x)+bf(y)ではありません。

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アフィン変換の定義を

この回答への補足

∀x,f(x)=1 の例は、

Vをn次元ベクトル空間とし、

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