アフィン写像について

アフィン写像について
アフィン写像の説明で、
アフィン写像は、アフィン空間の構造を保つような写像のことである。
とくに始域と終域が同じであるようなアフィン写像をアフィン変換という。
という説明があったのですが、
始域と終域が同じとはどのような事なのでしょうか？
同一集合（次元が同じ？）のことを指しているのでしょうか？

また、私の認識では、アフィン変換が作用する先はベクトル空間だと思うのですが、
アフィン空間の構造を保つと言うからにはアフィン変換の作用先はアフィン空間なのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/02 23:13

アフィン写像は、アフィン空間に作用するものです。

正方形が長方形の一種であるように
ベクトル空間はアフィン空間の一種ですから、
アフィン写像がベクトル空間に作用しても構いません。
しかし、ベクトル空間ではないアフィン空間にも
アフィン写像は作用できるのですから、
＞ アフィン変換が作用する先はベクトル空間だと思うのですが
という認識は、間違っています。

n 次元アフィン空間は、n+1 次元ベクトル空間の
とある部分集合とアフィン同型であり、
それに作用するアフィン写像は、外側のベクトル空間の
線型写像によって実現できる　…辺りの事実が、
貴方の勘違いの源であるような気はします。
間違い易いところなんですよ。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/07/02 09:00

＞また、私の認識では、アフィン変換が作用する先はベクトル空間だと思うのですが、

まったく違います．

＞アフィン空間の構造を保つと言うからにはアフィン変換の作用先はアフィン空間なのでしょうか？
当然です．

あなたの採用している「アフィン空間」及び「アフィン写像」の定義は何ですか？
きっちり定義を理解すれば
でてくるはずのない疑問なのです．
定義を妙に解釈してませんか？

線形写像のほうもそうだけども
どうにも定義をきっちり理解していないで
妙な解釈をしたり，定義を理解したことを前提にしたことを
理解せずに進んでいるように思います．

ということで，あなたの採用している
「アフィン空間」「アフィン写像」の定義を補足にどうぞ．
＃なお，始域・終域が一致するアフィン写像をアフィン変換というのは
＃ただしい定義ですし，アフィン写像はアフィン空間の構造を保つというのも
＃ただしい言及です．

この回答への補足

いつもご回答ありがとうございます。

アフィン変換の定義：
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、
x,y∈V, a,b∈K, について a+b = 1 のときは f(ax + by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。

ベクトル空間のアフィン変換で変換される空間をアフィン同値と言いいます。
このアフィン同値な空間がアフィン空間だと思います。
例えば、ベクトル空間Vにおいて、任意のアフィン変換fについて、W=f(V)となるとき、WとVを同じ空間だと見なす。
ただし、アフィン変換で変換された空間Vは一般的には線形空間とはならない。
このことから、アフィン変換の作用先はベクトル空間だと認識していました。

補足日時：2010/07/03 02:17