lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題
lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}
=lim[x→0][{(sinx)^2-x^2}/x^2(sinx)^2]
=lim[x→0]{(sinx+x)(sinx-x)/x^2(sinx)^2}
=lim[x→0]{(1+sinx/x)/xsinx}{(sinx/x-1)/xsinx}
のように展開してみましたが、上手く展開できません。どのように考えればよろしいのでしょうか?アドバイスの程お願い致します。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1+sin(x))/x × (x-sin(x))/x^3 × x^2/sin^2(x)
と変形します。
左の式の極限は 2
右の式の極限は 1
中の式は、ロピタルの定理を使います。
ほとんど同じことですが、テイラーの定理で
sin(x) = x - x^3/3! + O(x^5)
を用いても計算できます。
この回答への補足
Anti-Giants様ありがとうございます。自分なりに考えてみました。
「(1+sin(x))/x × (x-sin(x))/x^3 × x^2/sin^2(x)と変形します。」とございますが、
・(sin(x)+x)/x × (sin(x)-x)/x^3 × x^2/sin^2(x)・・・(1)
または、
・(sin(x)-x)/x × (sin(x)+x)/x^3 × x^2/sin^2(x)・・・(2)
になると思います。
ここで、(1)の第1項の極限は2、(2)の第1項の極限は0となります。
また、(1)、(2)の第2項の極限はロピタルの定理より、1/6となり、、(1)、(2)の第3項の極限は1となります。
ここで、、(1)、(2)の第1項の極限値の違いにより、解が異なるのですがどのように考えれば良いのでしょうか?
お手数おかけ致しますが、アドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。
No.9
- 回答日時:
これは、失礼。
平均値定理を使ったら、
1/x↑2 - 1/(sin x)↑ = (-2/c↑3)(x - sin x) = -2(x/c)↑3・(x - six x)/x↑3
ですよね。
ここから sin x をマクローリン展開すれば、
与式 → -2・1・1/6 が判るけれど、
途中から級数展開するくらいなら、
最初から 1/(sin x)↑2 をローラン展開
したほうが、スマートですね。
何にせよ、誤答失礼しました。
No.8
- 回答日時:
まちがいさがしの続編。
支配項の勘定で完全に錯乱してました。混乱させて、失礼。
手遅れながら支配項訂正版をメモっておきます。(転記ミス予防のため、くどい下書きのまま)
sin(x) ≒ x - x^3/6 = x{1 - (x^2)/6}
なので、
1/x^2 - 1/{sin(x)}^2
≒ [{1 - (x^2)/6}^2 - 1]/[x{1 - (x^2)/6}]^2
≒ {(-1/3)x^2}{1 - (x^2)/12}/x^2{1 - (x^2)/3}
= (-1/3){1 - (x^2)/12}/{1 - (x^2)/3}
No.7
- 回答日時:
#6です。
A#6の補足について
>アドバイスの12行目~13行目の展開で、
>>=-lim[x→0] 1/[1+{(x^2)/(1-cos(x))}]
>>=-lim[x→0] 1/[1+{2x/(1+sin(x))}] (ロピタルの定理適用)
>とございますが、
>=-lim[x→0] 1/[1+{(x^2)/(1-cos(x))}]
>=-lim[x→0] 1/{1+2x/sin(x)}(ロピタルの定理適用)
>ではないでしょうか?
失礼しました。指摘の通りです。
指摘の式の通りに訂正して下さい。
No.6
- 回答日時:
lim[x→0] {(1/x^2)-(1/(sin(x))^2)}
=lim[x→0] {(sin(x))^2-x^2}/{x^2(sin(x))^2}
=lim[x→0] (sin(x)+x)(sin(x)-x)/{(x^2)(1+cos(x))(1-cos(x))}
=lim[x→0] [{1+(sin(x)/x)}/{1+cos(x)}][{sin(x)-x}/{x(1-cos(x))}]
=lim[x→0] [{1+(sin(x)/x)}/{1+cos(x)}]*lim[x→0] [{sin(x)-x}/{x(1-cos(x))}]
=(2/2)lim[x→0] {sin(x)-x}/{x(1-cos(x))}
=lim[x→0] {sin(x)-x}/{x(1-cos(x))}
=lim[x→0] {cos(x)-1}/{1-cos(x)+x*sin(x)} (ロピタルの定理適用)
=-lim[x→0] 1/[1+{x*sin(x)/(1-cos(x))}]
=-lim[x→0] 1/[1+{sin(x)/x}/{(1-cos(x))/(x^2)}]
=-lim[x→0] 1/[1+1/{(1-cos(x))/(x^2)}]
=-lim[x→0] 1/[1+{(x^2)/(1-cos(x))}]
=-lim[x→0] 1/[1+{2x/(1+sin(x))}] (ロピタルの定理適用)
=-lim[x→0] 1/[1+{2/((1+sin(x))/x)}]
=-lim[x→0] 1/[1+{2/(cos(x)/1)}] (ロピタルの定理適用)
=-lim[x→0] 1/[1+{2/cos(x)}]
=-1/{1+(2/1)}
=-1/3
この回答への補足
info22_様ありがとうございます。大変参考になりました。アドバイスの12行目~13行目の展開で、
=-lim[x→0] 1/[1+{(x^2)/(1-cos(x))}]
=-lim[x→0] 1/[1+{2x/(1+sin(x))}] (ロピタルの定理適用)
とございますが、
=-lim[x→0] 1/[1+{(x^2)/(1-cos(x))}]
=-lim[x→0] 1/{1+2x/sin(x)}(ロピタルの定理適用)
ではないでしょうか?
全体的な展開が大変参考となりました。ありがとうございました。
No.5
- 回答日時:
まちがいさがし。
>im の中身を、
> 1/x^2 - 1/(sinx)^2 = {(sinx + x)/(xsinx)} + {(sinx - x)/(xsinx)}
> = {(sinx/x) + (x/sinx)}*{(sinx/x) - (x/sinx)}
>と変形 .......
1/x^2 - 1/(sinx)^2 = {(sinx + x)/(xsinx)}*{(sinx - x)/(xsinx)}
= {(sinx/x) + (x/sinx)}*{(sinx/x) - (x/sinx)}
でした。
この回答への補足
178-tall様ありがとうございます。自分なりに何度か計算を試みたのですが、アドバイスいただきましたように
1/x^2-1/(sinx)^2={(sinx+x)/(xsinx)}{(sinx-x)/(xsinx)}
={(sinx/x)+(x/sinx)}{(sinx/x)-(x/sinx)}
と展開できません。
もしよろしければ、展開の途中経過についてアドバイスいただければと思います。
No.4
- 回答日時:
4行目に間違いがあって、
(sinx + x)(sinx - x) / { x^2 (sinx)^2 }
= { (1 + sinx/x) / sinx }{ (sinx/x - 1) / sinx }
のハズだけど、ここを直しても行き詰っていることに変わりはない。
1/t^2 に sin x < t < x で平均値定理を適用して、
1/x^2 - 1/(sin x)^2 = (-1/c)(x - sin x) ただし sin x < c < x
は、どうだろう。
x → 0 のとき、(sin x)/x < c/x < 1 より c/x → 1 だから、
1/x^2 - 1/(sin x)^2 = (-x/c){ 1 - (sin x)/x } → (-1)・{ 1 - 1 } = 0。
この回答への補足
alice_44ありがとうございます。自分なりに再考してみます。ただ、他の人のアドバイスを拝見すると、-1/3という答えが多いようですが、アドバイスいただいた中に間違い等がもしございましたら、教えていただければと思います。
補足日時:2010/08/02 14:36No.3
- 回答日時:
lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}
=lim[x→0][{(sinx)^2-x^2}/x^2(sinx)^2]
(sinx)^2=(1-cos2x)/2
テーラー展開により
cos2x=1-(2x)^2/2+(2x)^4/24-...
=1-2x^2+2x^4/3-...
∴
(sinx)^2=(1-cos2x)/2=x^2-x^4/3+...
lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}
=lim[x→0][{(sinx)^2-x^2}/x^2(sinx)^2]
=lim[x→0][{x^2-x^4/3+...-x^2}/x^2(x^2-x^4/3+...)]
=lim[x→0][{-x^4/3+...}/x^4(1-x^2/3+...)]
=-1/3
No.2
- 回答日時:
>lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}
>=lim[x→0][{(sinx)^2-x^2}/x^2(sinx)^2]
>=lim[x→0]{(sinx+x)(sinx-x)/x^2(sinx)^2}
>=lim[x→0]{(1+sinx/x)/xsinx}{(sinx/x-1)/xsinx}
>のように展開してみましたが、.........
これは、一つの有力な「展開」だと思います。
sinx/x は 1 にならないものの、1 に限りなく接近しますね。
これを利用しようという有力な発想です。
lim の中身を、
1/x^2 - 1/(sinx)^2 = {(sinx + x)/(xsinx)} + {(sinx - x)/(xsinx)}
= {(sinx/x) + (x/sinx)}*{(sinx/x) - (x/sinx)}
と変形してみると、2*(1-1) に限りなく接近するはず。
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