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身長187cmです。
三角関数の合成についてです。
sinx+cosxはa=1,b=1だから√2でくくりますが、
なぜ√(a^2+b^2)でくくるのかっていうのは理解しておいた方がいいですか?
それともやり方を丸暗記すればいいですか?

A 回答 (5件)

asinx+bcosx


={√(a^2+b^2)}({a/{√(a^2+b^2)}sinx+{b/{√(a^2+b^2)}cosx)

A=a/√(a^2+b^2)
B=b/√(a^2+b^2)
とすると

A^2+B^2
=a^2/(a^2+b^2)+b^2/(a^2+b^2)
=(a^2+b^2)/(a^2+b^2)
=1
だから

A=cosα
B=sinα
となる
αが存在するから

a/√(a^2+b^2)=cosα
b/√(a^2+b^2)=sinα
だから

asinx+bcosx
={√(a^2+b^2)}(cosαsinx+sinαcosx)
={√(a^2+b^2)}sin(x+α)
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r=√(a²+b²)


とすると

asinx+bcosx=r{(a/r)sinx+(b/r)cosx} ①

原点を中心とする単位円上の点(a/r, b/r)と
原点とx軸のなす角度をθとすると

①=r(cosθsinx+sinθcosx)=rsin(x+θ)

つまり、xyデカルト座標上で
長さr、端点の片方が原点で
x軸に対する角度=x+θである線分の
x軸への射影の長さが①

という訳で、sinの角度の和の式から導けるし
ちゃんと考えればその幾何学的な意味がわかる。

そこまで理解が進めばそうそう忘れないよ。
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質問文がまるで意味不明なので勝手に書かせていただくと、質問文にある三角関数の合成なるものは例えば



Asinθ+Bcosθ=Csin(θ+α)

と言う具合に二つの三角関数を一つにまとめる事ですよね。これは右辺の三角関数を加法定理で展開した結果が左辺と同じになると言う事ですから、それさえ理解していれば結果的に「○○でくくる」となる事は分かると思います。
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aって何ですか? bって何ですか? そんなものどこにも書いてないじゃないですか!




たぶん「アレ」の事だろうと言う予想はできますが「アレ」をaだとかbだとかで表すと言う決まりも慣例もないわけですから、第三者に質問するならズボラをせずにきちんと書くべきです。
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身長187cmとは豪勢な。



理解してなくても丸暗記したやり方を忘れないなら、
どっちでもいいよ。
ここで理解か丸暗記か質問するような人には、
結果としての合成のやり方以上のものは一生必要ないから。
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