No.5
- 回答日時:
違った見方の回答です。
三角関数の一般形は
y=Asin(x+Θ)
となります。この式にすれば与えられたxの範囲でyの範囲がわかりやすくなります。
0≦x+Θ<2πならsin(x+Θ)の最大値は1でx+Θ=π/2と最小値は-1でx+Θ=3π/2です。
No.4
- 回答日時:
あんまり難しく考えなくたって、ザッとこんなような絵を描いてみればわかる。
破線は、青の線 y= 2 sin x と、赤の線 y = 2 cos xとの「中間」、すなわちy =sinx+cosx です。No.3
- 回答日時:
「三角関数の合成」は習いましたよね?
一般に、変数 x が同じであれば、係数を変形して
Asin(x) + Bcos(x)
= [√(A^2 + B^2)]{[A/√(A^2 + B^2)]sin(x) + [B/√(A^2 + B^2)]cos(x)}
と書けます。
ここで
A/√(A^2 + B^2) = cos(Φ)
B/√(A^2 + B^2) = sin(Φ)
従って tan(Φ) = B/A
という角度「Φ」が存在し(必ずしも Φ の値が分からなくともよい)
Asin(x) + Bcos(x)
= [√(A^2 + B^2)]{sin(x)cos(Φ) + cos(x)sin(Φ)}
= [√(A^2 + B^2)]sin(x + Φ) ←三角関数の加法定理
と書けます。
ご質問の場合には、
A=1, B=1
なので
√(A^2 + B^2) = √2
Φ = π/4
ということになります。
つまり
sin(x) + cos(x) = (√2)sin(x + π/4)
従って、0≦x≦π の場合には
π/4 ≦ x + π/4 ≦ (5/4)π
なので、
x + π/4 = π/2 すなわち x = π/4 のとき最大値 √2
x + π/4 = (5/4)π すなわち x = π のとき最大値 -1
ということになります。
上に書いた「三角関数の合成」は、A、B が「1以外」であっても使えますから、使いこなせるようにしておくとよいです。
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