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三角形ABCの外接円の中心をOとするとき次のことを示せ。 OAベクトル+OBベクトル+OCベクトル=OHベクトルである点Hをとると、Hは三角形ABCの垂心である。 という問題で、 解答として

(1)三角形ABCが直角三角形でないとき
(2)三角形ABCが直角三角形であるとき

と2つに場合分けして証明すると思うのですが、
その証明の仕方を教えてください。

A 回答 (2件)

こんにちわ。



>と2つに場合分けして証明すると思うのですが、
なぜ、このように考えましたか?

まず、いまの問題で与えられている条件を整理してみてください。
・「三角形ABCの外接円の中心をOとする」⇒ OA= OB= OC
・OAベクトル+OBベクトル+OCベクトル=OHベクトル
・垂心とは、各頂点から対辺に対して引いた垂線の交点である。⇒垂線と辺は直交する。

これらの条件を組み合わせるだけで証明はできますよ。^^
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この回答へのお礼

三角形ABCが直角三角形の時は(たとえば∠A=90度)
HとAが一致するけれど、
三角形ABCが直角三角形ではない時は
一致しないから、それで何か場合分けしなければならないと思ったのですが…


必要なかったみたいですね。
解決しました。

回答ありがとうございました^^

お礼日時:2010/08/25 18:22

ヒントです。



OA=a, OB=b, OC=c, OH=h
とすると、(矢印は省略します)
仮定から、

a+b+c=h ‥‥(1)

また、Oは外接円の中心だから、
|a|=|b|=|c| ‥‥(2)

示すのは、(1)(2)を用いて、
AH⊥BC, BH⊥AC, CH⊥AB
です。

これらは内積で、
AH・BC=0, BH・AC=0, CH・AB=0
ですね。これを示せばいい。

因みに、AH・BC=(h-a)・(c-b)
後は計算するのみ。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました^^

お礼日時:2010/08/25 18:23

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