平面上に8本の直線があり、そのいずれの3本も1点で交わることがないする

Question

平面上に8本の直線があり、そのいずれの3本も1点で交わることがないする。
8本の直線のいずれの2本も平行でないとき、それら8本の直線によって出来る三角形の総数は？

という問題で、答えが「8本の直線から3本を取り出す組み合わせなので、8C3」
としかないのですが、なぜそうなるのでしょうか。

naniwacchi · Accepted Answer

おはようございます。

「交点の数」と同じような問題ですね。
三角形には 3つの辺が必要なので、その 3辺（3本の直線）を選ぶということなのですが。

手順を追って考えてみましょう。
1) まずは直線 1本を選びます。（これを 直線：L1とします）
この直線には、残り 7本の直線との交点があります。（∵いずれの 2本も平行ではないから、必ず交わる）
そして、この直線上の交点は 7つあります。（∵いずれの 3本も 1点では交わらないから）

2) 7つの交点から 2つ点を選びます。
これは、残り 2本の直線（L2, L3）を選んでいることと同じです。
これら 2本の直線も必ず交わりますから、三角形ができあがります。

3) 上で選ばれた三角形は、1)で L2を選ぶ場合、L3を選ぶ場合、それぞれで重複してしまいます。
よって、その分を除外しなければなりません。

これを計算式にすると、
8Ｃ7× 7Ｃ2÷ 3＝ 8！/(7！1！)× 7！/(2！5！)÷ 3＝ 8Ｃ3とおり

と一致します。

このような数え方でもいいのですが、
3本直線を選べば必ず三角形ができあがることがわかったので、単純に 8Ｃ3とおりとしても構わないのです。
1)のところで、「いずれの・・・」の 2つの条件が入ってくるので、このように考えることができることになります。

IJHSM · Answer

とりあえず三角形を作るには３本の直線が必要です
これはいいですよね？
３本の直線の選び方が8C3であることは理解できると思います
しかしここから少し考えなければいけません

３本直線を選んだが三角形ができないことが起こるかを考えます
i）直線が交わらない
つまり平行な２直線を選んでは三角形ができるわけがありません
よって平行でない直線を３つ選ぶ必要があります
しかし、問題にいずれの２本も平行でないと書いてあるため問題ありません

では平行でなければ三角形が出来るでしょうか？
ii）３直線が１点で交わる
このとき三角形ができず点になってしまいます
しかしこれもいずれの3本も1点で交わることがないすると書いてあるため問題なし

よって答えは最初に出した8C3のままでいいのです
問題によっては１組だけ平行であるなど条件がついている場合もあるので気をつけましょう

確かに「8本の直線から3本を取り出す組み合わせなので、8C3」というだけでは不十分だと思います

おはようございます。