高校入試問題 数学

高校入試問題 数学
平方根の問題です

√2009－(7n)^2
が整数となるような自然数nを求めなさい。

※√は全体にかかっています

n=4と5になることはわかっています。

計算過程が全くわかりません、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： 2940429 回答日時： 2010/11/01 04:55

>√2009－(7n)^2

2009-(7n)^2≧0

2009≧(7n)^2

49n^2≦2009

n^2 ≦2009/49=41

nは自然数ですから、n=[0,1,2,3,4,5,6,],
しかし、√2009－(7n)^2が整数です、
√2009-(7n)^2　＝　√49(41-n^2)=7√41-n^2
n=0なら、整数ではない
n=1なら、整数ではない
n=3なら、整数ではない
n=4なら、整数です
n=5なら、整数です

この回答へのお礼

ありがとうございます！
理解できました。

お礼日時：2010/11/01 08:52

No.2 回答者： lineage_of_kei 回答日時： 2010/11/06 03:30

すでに答えられているものとさほど変わりませんが

x = √2009－(7n)^2　と置く。
ここでxは整数とする。

2009 = 7^2×41　なので

x^2= 7^2×49-(7n)^2 = 7^2×(41-n^2)
=7^2×（何か）^2という形になってくれないとだめ。
　　　　　　　　　　　　　　↑　x = 7×（何か） という整数になることを意味する。
つまり
41-n^2＝（何か）^2
である。後はn=1,2,3,4,・・・、7と数字を代入して試してみると
41-4^2=25=5^2
41-5^2=16=4^2

ですでに手にしている答えになります。
もう少し機械的に計算するには

41-n^2＝（25+16）-n^2
＝5^2+4^2-n^2＝（何か）^2

ですよね＾ｗ＾

この回答へのお礼

ありがとうございます！
とても分かりやすいです。

お礼日時：2010/11/06 05:34