(x^2+3x+2)^2(x^2+5x+1)^2 を展開したときのx^

(x^2+3x+2)^2(x^2+5x+1)^2 を展開したときのx^2の係数を求めるんですが
全部展開してから求めるんですか？(・ω・`)

No.3 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/11/08 22:00

　ANo.2さんのように部分的に展開して求めるのが模範解答だと思います。

＞全部展開してから求めるんですか？

　計算の手間はANo.2さんよりかかりますが、展開しない解法をお示ししたいと思います。

　(x^2+3x+2)^2(x^2+5x+1)^2=0 としますと、
　　(x+1)^2 (x+2)^2 (x^2+5x+1)^2=0
　∴x=-1,-2,(-5±√21)/2　（すべて２重解）
となります。
　(-5+√21)/2=α,(-5-√21)/2=β と置きますと、α+β=-5, αβ=1 となります。

　ところで、与えられた式はxの8次多項式ですので、解と係数の関係から　x^2 の係数は、(x^2+3x+2)^2(x^2+5x+1)^2=0　の8個の解のうち6個を選んで掛けたものをすべて足し合わせたものになります。

　(-1)^2×(αβ)^2+(-2)^2×(αβ)^2+(-2)^2×(-1)^2×α^2+(-2)^2×(-1)^2×β^2+4{(-2)(-1)(αβ)^2+(-2)(-1)^2×αβ^2+(-2)(-1)^2×α^2×β+(-2)^2×(-1)×αβ^2+(-2)^2×(-1)×α^2×β+(-2)^2×(-1)^2×αβ}
=1+4+4{(α+β)^2-2αβ}+4{2-2(α+β)-4(α+β)+4}
=5+4(25-2)+4(2+10+20+4)
=5+92+144
=241

　（この方法は　与式＝０　とする解のうち４つが簡単な整数になり、α+β,αβも簡単な整数なるので、そこそこの計算量で求められます。）

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/07 14:55

(x^2+3x+2)^2(x^2+5x+1)^2

→｛(x^2+3x+2)(x^2+5x+1)｝^2
x^3以上の項は除いていくと
→｛x^2（3x+2)+x^2(5x+1)+(3x+2)(5x+1)｝^2
→｛3x^2+(3x+2)(5x+1)｝^2
＝(18x^2+13x+2)^2
→2*18(x^2)(13x+2)+(13x+2)^2
→72x^2+169x^2+52x+4
一次以下の項を除くと
→(72+169)x^2=241x^2

となって求めるx^2の係数は「241」。

No.1 回答者： vsm42952 回答日時： 2010/11/07 12:26

こんにちは

全部展開するのは効率が悪いので、x^2の係数だけピックアップして後で足し算すればよいと思います。

それも面倒ですけど