テイラー展開について質問です。 A(x+Δx,y+Δy,z(x+Δx,y+Δy)) Δx，Δyは変化

テイラー展開について質問です。
A(x+Δx,y+Δy,z(x+Δx,y+Δy)) Δx，Δyは変化量です
これを(x,y)まわりで展開することは出来ますが， z(x,y)まわりで展開する事はできますか？

(x,y)まわり
A(x+Δx,y+Δy,z(x+Δx,y+Δy)) =
A(x,y,z(x,y))+∂A/∂x*Δx+ ∂A/∂y*Δy+・・・
z(x,y)まわり
A(x+Δx,y+Δy,z(x+Δx,y+Δy)) =
A(x,y,z(x,y))+∂A/∂z*Δz(Δx,Δy)+ ・・・
となるのですか？

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/23 12:11

ああ、確かに。

A(x,y,z(x,y)) の (x,y) まわりの展開は
A(x+Δx,y+Δy,z(x+Δx,y+Δy))
= A(x,y,z(x,y)) + (∂A/∂x)Δx + (∂A/∂y)Δy + ・・・
じゃあなく、
A(x,y,z(x,y)) = B(x,y) と置いて
A(x+Δx,y+Δy,z(x+Δx,y+Δy)) = B(x+Δx,y+Δy)
= B(x,y,z(x,y)) + (∂B/∂x)Δx + (∂B/∂y)Δy + ・・・,　←２変数のテイラー展開
ただし
∂B/∂x = (∂/∂x)A(x,y,z(x,y))
= (∂A/∂x)１ + (∂A/∂z)(∂z/∂x),
∂B/∂y = (∂/∂y)A(x,y,z(x,y))
= (∂A/∂y)１ + (∂A/∂z)(∂z/∂y),
…
とかになるよね。

でも、質問は、そこじゃないんじゃない？

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/03/23 08:51

z(x, y) という曲面上での A の変化だと思うけど

zの1次の変化分は
Δz =　∂z/∂x・Δx + ∂z/∂y・Δy
で良いと思うけど

知りたいのはそういうこと？

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/22 14:55

A(x,y,z(x,y)) の z(x,y) が具体的に判っているなら、

A(x,y,z(x,y)) = B(x,y) となる２変数関数 B が判る。
これを「zについて」テイラー展開すると、
B(x,y) = B(x,y) + 0z + 0z^2 + 0z^3 + ... となるかなあ。
しらんけど。

あるいは、(x,y)→z という写像が可逆で
z=z(x,y) ⇔ x = f(x), y = g(z) となる f, g が存在するのであれば、
A(x,y,z(x,y)) = A(f(z),g(z),z) だから
zで普通に「1変数の」テイラー展開ができる。 その場合、
dA/dz = (∂A/∂x)(df(z)/dz) + (∂A/∂y)(dg(z)/dz) + (∂A/∂z)
とか、そんなことになる。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/03/22 08:55

f(x,y) = A(x,y,z(x,y))

と書き直してみれば、ただの、2変数関数のテイラー展開。教科書通りです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/22 01:32

A(x,y,z) = x+y とかだったら、どうするの？