x^2+y^2=1のとき、(2x+y+1)/(3x+y+5)の最大値・最小値を求めよ。
分数になっていることから、この問題を傾きの最大・最小で解こうと考えました。
そのために、Y=2x+y,X=3x+y とおく。そして、(X,Y)の領域について考えようとしました。
ベクトル(X,Y)=x(3,2)+y(1,1)=cosθ(3,2)+sinθ(1,1)から、、(X,Y)の領域がわかるのでないか
と思いました。その領域も(-5,-1)との傾きの最大と最小がわかる領域であればよいのですが、
cosθ(3,2)+sinθ(1,1) をどう解釈すれば良いでしょうか。
この方法がうまくいかないので、x=cosθ,y=sinθとして、(2x+y+1)/(3x+y+5)を三角関数の式
として捉えてできないかも考えましたが、できませんでした。
この2つの方法について、アドバイスをおねがいします。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
>x=cosθ,y=sinθとして、(2x+y+1)/(3x+y+5)を三角関数の式として捉えてできないかも考えましたが、できませんでした。
座標を使わずに、三角だけで済ませる方法。
x=cosθ,y=sinθ を(2x+y+1)/(3x+y+5)=k に条件式に代入して整理すると、(3k-2)*cosθ+(k-1)*sinθ+(5k-1)=0となる。
sin(θ+α)=(1-5k)/√{(3k-2)^2+(k-1)^2}であり、|sin(θ+α)|≦1 から、|1-5k|≦√{(3k-2)^2+(k-1)^2}であるから、同じ答えに到達する。
これが一番簡単な方法かな?
No.7
- 回答日時:
#3です。
A#3の補足質問について
>(10k^2-14k+5)x^2+2(15k^2 -13k+2)x+8(3k-1)k=0…(★)
>2次の係数(10k^2-14k+5)>0であるのでxの実数条件≧0から
転記ミスです。「実数条件、判別式D≧0」ですね。
>-15k^2-4k+4≧0…(☆)
>このとき、xは-1から1の間に存在する実数である条件は、無くても良いのでしょうか。
(★)は(3)の式を円の方程式に代入して導出した式なので、円上の点のxの範囲の条件が含まれています。つまり(☆)を満たすkに対して導出される実数xとそのxを(3)に代入して導出される実数yは円の方程式(1)を満足しますので、改めてxの範囲の条件を追加する必要はないでしょう。#4,#5のグラフと説明で良く考えてみて下さい。(☆)を満たすkに対して(1)と(3)は必ず交点を持つことから分かるでしょう。
回答ありがとうございます
実数解x存在するとするとそれは、円のグラフから-1と1の間というのは
わかるのですが、式を変形していくどの段階で、そのことが利いてくるのか
と疑問におもいました。
No.4
- 回答日時:
#3です。
A#3のグラフを描いてみましたので添付します。
直線(3)のグラフがkの値によって定点(-4,7)の周りに回転する様子が分かるかと思います。
直線(3)の傾きが黄色の範囲に入るkの範囲が求めるkの範囲で、このkの範囲で円(1)と評価式直線(2)が共有点(交点)を持つことが分かります。
No.3
- 回答日時:
この問題の標準的な解き方は
x^2+y^2=1…(1)
(2x+y+1)/(3x+y+5)=k…(2)とおいて
(2)から y=((3k-2)x+5k-1)/(1-k)…(3)
k=1のとき(2)から x=-4…(4)
(4)は(1)と共有点を持たないので不適。∴k≠1
(3)はxが実数であればyも実数になることを意味する。
このとき(2)のyを(1)に代入して(k-1)^2(≠0)を掛けて
xについて整理すると
(10k^2-14k+5)x^2+2(15k^2 -13k+2)x+8(3k-1)k=0
2次の係数(10k^2-14k+5)>0であるのでxの実数条件≧0から
-15k^2-4k+4≧0 ∴-2/3≦k≦2/5…(5)
とkの範囲が出てきます。
以上が一般的な解法かと思います。
なお、グラフを描いて考えると理解しやすい。
(2)が任意のkについて成立するとすれば(x,y)=(-4,7)。(2)から導いた(3)はこの定点(-4,7)を通る直線であることが分かる。kを変化させると(3)は定点(-4,7)を中心に回転する。
この直線が円(1)と共有点を持つ直線の傾き「(3k-2)/(1-k)」の範囲からkの範囲(5)が求まります。
回答ありがとうございます
(10k^2-14k+5)x^2+2(15k^2 -13k+2)x+8(3k-1)k=0
2次の係数(10k^2-14k+5)>0であるのでxの実数条件≧0から
-15k^2-4k+4≧0
このとき、xは-1から1の間に存在する実数である条件は、無くても良いのでしょうか。
No.2
- 回答日時:
2x+y=a、3x+y=bとすると、x=b-a、y=3a-2b であるから、条件式にだいにゅうすると、10a^2-14ab+5b^2=1となる。
‥‥(1)又、a+1=k(b+5)であるから、これを(1)に代入して、bの2次方程式とみて、判別式≧0
後は、十分条件の確認をするだけ。
次に、x=cosθ,y=sinθとする方法だが、以下の方法を見習えばできる。
私なら、次のように解くが。
条件から、(2x+y+1)/(3x+y+5)=kとすると、2x+y+1=k(3x+y+5)。
これは、(2x+y+1)-k(3x+y+5)=0 ‥‥(1)から、2つの直線:2x+y+1=0と3x+y+5=0との交点(-4、7)を通る直線束(群)を表す。
よって、この円と直線:(2-3k)x+(1-k)y+1-5k=0が交点を持つと良いから、円の中心(0、0)と直線との距離が円の半径である1以下であると良い。
点と直線との距離の公式から、|1-5k|≦√{(2-3k)^2+(1-k)^2}である。
両辺が非負から2乗すると、15k^2+4k-4≦0 つまり、-2/3≦k≦2/5。
回答ありがとうございます
直線が円との共有点をもつkの条件を
かんがえればいいのですね。
ベクトルの方法で、領域をかんがえることは
できないのかな・・・
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