力の分解について

力の分解についての質問です。
図のように、真ん中を回転中心として、レバーでピンが押される構成を考えます。
右側のＦの力でレバーを引っ張ります（ばね等）
そのＦの力でピンがＹ方向に押す力を求めたいです。

図１のようにピンを押す面に垂直方向に一度分解し、
Ｆ1＝Ｆ×cosθ1
となります。
そしてＦ1をＹ方向に分解し、
Ｆ2＝Ｆ1×cosθ2
つまり、Ｆ2＝Ｆ×cosθ1×cosθ2と求められます。

なにも考えずに上記のように力を分解しましたが以下の疑問が沸いてきました。
図２のように、ＦをいきなりＦ2に分解して、
Ｆ2＝Ｆcos（θ1＋θ2）
とすると、Ｆ1に一度分解したときよりも小さい値になってしまいます。
この分解方法は何が間違っていますか？
わからなくなってしまいました。

すみませんが、ご教授願います。

※添付画像が削除されました。

No.3 ベストアンサー 回答者： -ok 回答日時： 2010/12/19 21:38

＃２への「お礼」に対して

>ＦとＦに垂直な成分の合成したものがＦ1とおっしゃっているのでしょうか？

そのとうりです。その F1 こそがピンに働く力そのものです。また、「Ｆに垂直な成分」とは円の中心へ向かう成分のことです。

>＃1の式の中に、Ｆに垂直な成分は入っていますか？

＃1の計算では F1 そのものから F2 = F1 cosθ2 として F2 を求めており、ピンに働く力 F1 を F と、F に垂直な成分に分ける必要はありません。ですから、入っているかどうかと言えば、自動的に入っているということになります。

＃１で求めているのは、レバーがピンを押す力（F1）の y 方向の成分です。質問者さんが求めたい量がそれではなく、図で左側にある F だけの y 方向の成分であれば、F2 = F cos(θ1+θ2) となります。しかし、このように計算される F2 はピンに働く力の y 成分とは異なります。＃２ではそのことを指摘しています。

この回答へのお礼

なるほど。
まだ完璧に理解できていませんが、
仮に、ピンがレバーに押される面をＹ方向と垂直にして考えると、
私の力の分解方法だと値が少なくなり、おかしいことが分かります。

ご丁寧にありがとうございました！

お礼日時：2010/12/19 23:11

No.2 回答者： -ok 回答日時： 2010/12/19 16:50

＃１へのコメントに対して

>ピン側のＦをピンを押す面に分解すると

ここに質問者さんと私の考えの違いが現れていると思います。

質問者さんは F だけ考えて、その y 成分を求めようとしておられます。しかし、ピンに働く力はレバーの面に垂直ですから、F だけでは不十分です。F に垂直な成分についても、その y 成分を求める必要があります。

＃１では、実際に働く力を F1 と定義しており、F も F2 も F1 の（それぞれある方向の）成分であると捉えて計算しています。

この回答へのお礼

何度もすみません。

＞Fに垂直な成分
は、どこから求められる値でしょうか？
ＦとＦに垂直な成分の合成したものがＦ1とおっしゃっているのでしょうか？
＃1の式の中に、Ｆに垂直な成分は入っていますか？

すいません。図でもあれば理解できると思うのですが・・・。
ちょっとわかりませんでした。＞＜

お礼日時：2010/12/19 20:26

No.1 回答者： -ok 回答日時： 2010/12/19 05:41

前の分解方法では F1 に垂直な F の成分（青色で表示）の y 方向の成分が考慮されていないためです。

しかし、その計算方法には疑問があります。レバーとピンの間に摩擦が働くのですか？摩擦が無い場合には、レバーがピンを押す力はレバーの面に垂直になるはずです（それが F1）。また力のモーメントの釣り合いから、図の円の接線方向の力は F です。よって
F = F1 cosθ1。
これから
F2 = F1 cosθ2
　　= F cosθ2 / cosθ1
となります。私の勘違いかもしれませんが。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

摩擦はないと考えます。
レバーがピンを押す力は、レバーの面に垂直になるんですが、
求めたいのはＹ方向に押す力です。

力のモーメントの釣り合いですが、
右側のＦとピンに作用する接線方向のＦが釣り合うので、
右側Ｆ＝ピン側のＦ
ですよね？
ピン側のＦをピンを押す面に分解すると、三角関数より、
cosθ1＝F1/F
ではないですか？
よって、F1＝Fcosθ1
で合っていると思ってますが、何か間違っているのでしょうか？＞＜

お礼日時：2010/12/19 14:51