級数の収束半径

次の級数の収束半径がわかりません！！
Σ(n/(n+1))^(n^2) z^n

コーシーアダマールの定理を使うんでしょうか？？
limsupの式はわかるのですが計算方法が・・・。。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/12/20 11:07

とりあえず詰まったところまで書いてみてください.

でも形からして 1/e っぽいんだけど....

この回答への補足

収束半径R＝limsup { ((n+1)/(n+2))^((n+1)^2) } / { (n/(n+1))^(n^2) }
の式までです。
どのように計算すればよいか・・・

補足日時：2010/12/20 12:52

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/12/20 13:37

あ, しまった, 分子と分母を逆だと勘違いした. 収束半径は e ですね.

limsup の中身を努力と根性でばらすと
{ ((n+1)/(n+2))^((n+1)^2) } / { (n/(n+1))^(n^2) }
= {[(n+1)^2]/[n(n+2)]}^(n^2) ・ [(n+1)/(n+2)]^(2n+1)
になり, この 2つの因子はどちらも n→∞ で収束してその極限はそれぞれ 1/e と e^2 だから
limsup (それ) = e.
でも, コーシーの判定法を使った方がはるかに楽だと思う.... いくらなんでも
[n/(n+1)]^n
の (n→∞ の) 極限はわかるだろう.

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/12/20 14:43

あれ～, #2 の計算も間違えてるよ.... 極限値が両方とも逆数にならないとだめ....

えぇと, まあとにかくあんな計算をすれば収束半径にかかわる値が出ます. 今のままいくなら n^2 を指数に持つ部分とその他の部分に分ける. でどっちも (有限値に) 収束することを確認すれば OK.
あるいはコーシーの判定法を使う. こっちはさすがに (式を書いてないだけあって) 間違えようもない.

この回答への補足

コーシーの判定法で考えてみたら、
limsup (n/(n+1))^n＝１になりました。
しかし、コーシーの判定法って１になったときはどうなるんですか？
教科書には、「1のときは定義できない」と書いてあるんですが・・・。
計算が間違っているのでしょうか・・・よろしくお願いします。

補足日時：2010/12/21 23:52

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/12/22 00:38

えぇと....

なんで
limsup (n/(n+1))^n＝１
なの?
sup の付かない
lim [n/(n+1)]^n
はわかりますよね?