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次の級数の収束半径がわかりません!!
Σ(n/(n+1))^(n^2) z^n

コーシーアダマールの定理を使うんでしょうか??
limsupの式はわかるのですが計算方法が・・・。。
よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

えぇと....


なんで
limsup (n/(n+1))^n=1
なの?
sup の付かない
lim [n/(n+1)]^n
はわかりますよね?
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あれ~, #2 の計算も間違えてるよ.... 極限値が両方とも逆数にならないとだめ....


えぇと, まあとにかくあんな計算をすれば収束半径にかかわる値が出ます. 今のままいくなら n^2 を指数に持つ部分とその他の部分に分ける. でどっちも (有限値に) 収束することを確認すれば OK.
あるいはコーシーの判定法を使う. こっちはさすがに (式を書いてないだけあって) 間違えようもない.

この回答への補足

コーシーの判定法で考えてみたら、
limsup (n/(n+1))^n=1になりました。
しかし、コーシーの判定法って1になったときはどうなるんですか?
教科書には、「1のときは定義できない」と書いてあるんですが・・・。
計算が間違っているのでしょうか・・・よろしくお願いします。

補足日時:2010/12/21 23:52
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あ, しまった, 分子と分母を逆だと勘違いした. 収束半径は e ですね.


limsup の中身を努力と根性でばらすと
{ ((n+1)/(n+2))^((n+1)^2) } / { (n/(n+1))^(n^2) }
= {[(n+1)^2]/[n(n+2)]}^(n^2) ・ [(n+1)/(n+2)]^(2n+1)
になり, この 2つの因子はどちらも n→∞ で収束してその極限はそれぞれ 1/e と e^2 だから
limsup (それ) = e.
でも, コーシーの判定法を使った方がはるかに楽だと思う.... いくらなんでも
[n/(n+1)]^n
の (n→∞ の) 極限はわかるだろう.
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とりあえず詰まったところまで書いてみてください.


でも形からして 1/e っぽいんだけど....

この回答への補足

収束半径R=limsup { ((n+1)/(n+2))^((n+1)^2) } / { (n/(n+1))^(n^2) }
の式までです。
どのように計算すればよいか・・・

補足日時:2010/12/20 12:52
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