ばねの問題

軽いつる巻きバネの一端を天井に固定し、他端に質量m[kg]の小球をつるしたところ、ばねがx0[m]伸びた位置で釣り合った。この位置から小球を下方へA [m]ひいてはなしたら、小球は釣り合いの位置を中心として振動した。重力加速度の大きさをg[m/s^2]とし、釣り合いの位置を重力による位置エネルギーの基準にとって次の問いに答えよ。

(１)このばねのばね定数は何N／mか。

(2)最下点における重力における位置エネルギーと弾性力エネルギーによる位置エネルギーの和は何Jか。

(3)小球の力学的エネルギー保存より、ばねがつりあいの位置を通過する瞬間の小球の速さを求めよ。

この問題は先生が考えた問題だそうです。

(１)は解けたのですが(２)、(３)を解くことができません。

(３)は何回やっても答えがv=√(g/x0A)になってしまい、解答に行き着くことができません。

お手数かけますがこの問題を解いてくれませんか。よろしくお願いします。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2010/12/26 23:46

すみません。

基準とする位置（高さ）の考え方を勘違いしていたようです。
その点だけ修正すると答えと合います。
以下、やり直し。

（２）
【前回】
－ｍｇ（｜Ａ｜－｜ｘo｜）　＋　１／２・ｋ｜Ａ｜^2
【修正後】
－ｍｇ（｜Ａ｜－０）　＋　１／２・ｋ（｜ｘo｜＋｜Ａ｜）^2
計算すると
　＝　－ｍｇ｜Ａ｜　＋　１／２・ｍｇ／｜ｘo｜・（｜ｘo｜＋｜Ａ｜）^2
　＝　１／２・ｍｇ｛　－２｜Ａ｜　＋　（｜ｘo｜＋｜Ａ｜）^2／｜ｘo｜　｝
　＝　１／２・ｍｇ｛　－２｜Ａ｜　＋　（ｘo^2＋２ｘo｜Ａ｜＋Ａ^2）／｜ｘo｜　｝
　＝　１／２・ｍｇ｛　－２｜Ａ｜　＋　｜ｘo｜　＋　２｜Ａ｜　＋　Ａ^2／｜ｘo｜　｝
　＝　１／２・ｍｇ（｜ｘo｜　＋　Ａ^2／｜ｘo｜）
合いました。

（３）
【前回】
（２）で求めたエネルギー　－　釣り合い位置での弾性力位置エネルギー　－　釣り合い位置での重力位置エネルギー
　＝　｛－ｍｇ（｜Ａ｜－｜ｘo｜）　＋　１／２・ｍｇ／｜ｘo｜・Ａ^2｝　－　１／２・ｋｘo^2　－　０
【修正後】
（２）で求めたエネルギー　－　釣り合い位置での弾性力位置エネルギー　－　釣り合い位置での重力位置エネルギー
　＝　｛１／２・ｍｇ（｜ｘo｜　＋　Ａ^2／｜ｘo｜）　－　１／２・ｋｘo^2　－　０　｝
計算すると、
　＝　｛１／２・ｍｇ（｜ｘo｜　＋　Ａ^2／｜ｘo｜）　－　１／２・ｍｇ／｜ｘo｜・ｘo^2　－　０　｝
　＝　１／２・ｍｇＡ^2／｜ｘo｜
これが　１／２・ｍｖo^2 と等しいので

１／２・ｍｖo^2　＝　１／２・ｍｇＡ^2／｜ｘo｜
ｖo^2　＝　ｇＡ^2／｜ｘo｜
｜ｖo｜　＝　｜Ａ｜√（ｇ／｜ｘo｜）
合いました。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2010/12/25 22:43

こんにちは。

解いてみましたが、計算が合っているかどうかは確認してくださいね。
なお、絶対値記号を用いている理由は、位置（高さ）や速さの方向のプラスマイナスのややこしさを避けるためです。

(１)このばねのばね定数は何N／mか。

Ｆ　＝　ｍｇ　＝　ｋ｜ｘo｜
よって
ｋ　＝　ｍｇ／｜ｘo｜

(2)最下点における重力における位置エネルギーと弾性力エネルギーによる位置エネルギーの和は何Jか。

重力位置エネルギー　＋　弾性力位置エネルギー　＝　－ｍｇ（｜Ａ｜－｜ｘo｜）　＋　１／２・ｋ｜Ａ｜^2
　＝　－ｍｇ（｜Ａ｜－｜ｘo｜）　＋　１／２・ｍｇ／｜ｘo｜・Ａ^2

(3)小球の力学的エネルギー保存より、ばねがつりあいの位置を通過する瞬間の小球の速さを求めよ。

釣り合い位置での運動エネルギー　＝　１／２・ｍｖo^2
　＝　（２）で求めたエネルギー　－　釣り合い位置での弾性力位置エネルギー　－　釣り合い位置での重力位置エネルギー
　＝　｛－ｍｇ（｜Ａ｜－｜ｘo｜）　＋　１／２・ｍｇ／｜ｘo｜・Ａ^2｝　－　１／２・ｋｘo^2　－　０
　＝　－ｍｇ（｜Ａ｜－｜ｘo｜）　＋　１／２・ｍｇ／｜ｘo｜・Ａ^2　－　１／２・ｍｇ／｜ｘo｜・ｘo^2　－　０
　＝　－ｍｇ｜Ａ｜　＋　ｍｇ｜ｘo｜　＋　１／２・ｍｇ／｜ｘo｜・Ａ^2　－　１／２・ｍｇ｜ｘo｜
　＝　－ｍｇ｜Ａ｜　＋　１／２・ｍｇ｜ｘo｜　＋　１／２・ｍｇ／｜ｘo｜・Ａ^2

つまり
１／２・ｍｖo^2　＝　－ｍｇ｜Ａ｜　＋　１／２・ｍｇ｜ｘo｜　＋　１／２・ｍｇ／｜ｘo｜・Ａ^2
なので、
ｖo^2　＝　－２ｇ｜Ａ｜　＋　ｇ｜ｘo｜　＋　ｇ／｜ｘo｜・Ａ^2
　＝　ｇ（｜ｘo｜　－　２｜Ａ｜　＋　Ａ^2／｜ｘo｜）

｜ｖo｜　＝　√（ｇ（｜ｘo｜　－　２｜Ａ｜　＋　Ａ^2／｜ｘo｜））

この回答への補足

回答してくださってありがとうございます！

しかい、本当に言いにくいのですが、、自分が持っている解答には(２)１/２×mg(X０＋A＾２/X0)、(３)A√g/X0になってしまっています。

すみません。

補足日時：2010/12/26 20:59