軽いつる巻きバネの一端を天井に固定し、他端に質量m[kg]の小球をつるしたところ、ばねがx0[m]伸びた位置で釣り合った。この位置から小球を下方へA [m]ひいてはなしたら、小球は釣り合いの位置を中心として振動した。重力加速度の大きさをg[m/s^2]とし、釣り合いの位置を重力による位置エネルギーの基準にとって次の問いに答えよ。
(1)このばねのばね定数は何N/mか。
(2)最下点における重力における位置エネルギーと弾性力エネルギーによる位置エネルギーの和は何Jか。
(3)小球の力学的エネルギー保存より、ばねがつりあいの位置を通過する瞬間の小球の速さを求めよ。
この問題は先生が考えた問題だそうです。
(1)は解けたのですが(2)、(3)を解くことができません。
(3)は何回やっても答えがv=√(g/x0A)になってしまい、解答に行き着くことができません。
お手数かけますがこの問題を解いてくれませんか。よろしくお願いします。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
すみません。
基準とする位置(高さ)の考え方を勘違いしていたようです。その点だけ修正すると答えと合います。
以下、やり直し。
(2)
【前回】
-mg(|A|-|xo|) + 1/2・k|A|^2
【修正後】
-mg(|A|-0) + 1/2・k(|xo|+|A|)^2
計算すると
= -mg|A| + 1/2・mg/|xo|・(|xo|+|A|)^2
= 1/2・mg{ -2|A| + (|xo|+|A|)^2/|xo| }
= 1/2・mg{ -2|A| + (xo^2+2xo|A|+A^2)/|xo| }
= 1/2・mg{ -2|A| + |xo| + 2|A| + A^2/|xo| }
= 1/2・mg(|xo| + A^2/|xo|)
合いました。
(3)
【前回】
(2)で求めたエネルギー - 釣り合い位置での弾性力位置エネルギー - 釣り合い位置での重力位置エネルギー
= {-mg(|A|-|xo|) + 1/2・mg/|xo|・A^2} - 1/2・kxo^2 - 0
【修正後】
(2)で求めたエネルギー - 釣り合い位置での弾性力位置エネルギー - 釣り合い位置での重力位置エネルギー
= {1/2・mg(|xo| + A^2/|xo|) - 1/2・kxo^2 - 0 }
計算すると、
= {1/2・mg(|xo| + A^2/|xo|) - 1/2・mg/|xo|・xo^2 - 0 }
= 1/2・mgA^2/|xo|
これが 1/2・mvo^2 と等しいので
1/2・mvo^2 = 1/2・mgA^2/|xo|
vo^2 = gA^2/|xo|
|vo| = |A|√(g/|xo|)
合いました。
No.1
- 回答日時:
こんにちは。
解いてみましたが、計算が合っているかどうかは確認してくださいね。
なお、絶対値記号を用いている理由は、位置(高さ)や速さの方向のプラスマイナスのややこしさを避けるためです。
(1)このばねのばね定数は何N/mか。
F = mg = k|xo|
よって
k = mg/|xo|
(2)最下点における重力における位置エネルギーと弾性力エネルギーによる位置エネルギーの和は何Jか。
重力位置エネルギー + 弾性力位置エネルギー = -mg(|A|-|xo|) + 1/2・k|A|^2
= -mg(|A|-|xo|) + 1/2・mg/|xo|・A^2
(3)小球の力学的エネルギー保存より、ばねがつりあいの位置を通過する瞬間の小球の速さを求めよ。
釣り合い位置での運動エネルギー = 1/2・mvo^2
= (2)で求めたエネルギー - 釣り合い位置での弾性力位置エネルギー - 釣り合い位置での重力位置エネルギー
= {-mg(|A|-|xo|) + 1/2・mg/|xo|・A^2} - 1/2・kxo^2 - 0
= -mg(|A|-|xo|) + 1/2・mg/|xo|・A^2 - 1/2・mg/|xo|・xo^2 - 0
= -mg|A| + mg|xo| + 1/2・mg/|xo|・A^2 - 1/2・mg|xo|
= -mg|A| + 1/2・mg|xo| + 1/2・mg/|xo|・A^2
つまり
1/2・mvo^2 = -mg|A| + 1/2・mg|xo| + 1/2・mg/|xo|・A^2
なので、
vo^2 = -2g|A| + g|xo| + g/|xo|・A^2
= g(|xo| - 2|A| + A^2/|xo|)
|vo| = √(g(|xo| - 2|A| + A^2/|xo|))
この回答への補足
回答してくださってありがとうございます!
しかい、本当に言いにくいのですが、、自分が持っている解答には(2)1/2×mg(X0+A^2/X0)、(3)A√g/X0になってしまっています。
すみません。
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