距離の最小値

y=x^2上の動点Aと点Ｂ(0,2)との距離が、最小になるときの
の点Ａの座標を求めよ。という問題を解くとき、
点Ａでの接線の傾きと線分ＡＢの傾きが垂直になるときが
線分ＡＢが最小になることを使っていますが、なぜ垂直になるとき
が最小といえるのか理由がよくわかりません。よろしくお願いします。
因みに、２点間の距離の最小値を求める方法で解決はしています。

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/01/07 16:01

A の位置を適当なパラメータで表すと AB の距離もそのパラメータで表現できる. んで, 「点A での接線の傾きと線分AB の傾きが垂直になるとき」には「AB の距離を当該パラメータで微分した微係数が 0」ということになる. 円をイメージしてもらうと分かりやすいかもしれない.

厳密に言えば「微係数が 0」というだけなので, それだけで「最小」といえるわけではない. 極小かもしれないし極大かもしれないし, はたまたどちらでもないことも考えられる. 実際, 今の例でも「点A における接線と直線AB が直交してるけど AB間の距離が最小になっていない」ところはある.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
今の例でも「点A における接線と直線AB が直交してるけど AB間の距離が最小になっていない」ところはある.
原点で接して、他の２点で交わる場合がそうなんでしょうか。

お礼日時：2011/01/08 08:41

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/01/08 22:52

そういうことです. 元の問題は「傾き」となっていますが, ここを一般化して「直交する」としてしまうと A が原点付近を動くとき B

と原点との距離 2 は極大になることがわかります.

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2011/01/07 16:03

点Bを中心とする円を描いて見ると分かりやすいでしょう。

円は中心(0,2)から半径rに等しい距離にある点の軌跡ですから、この円が放物線と共有点を持つとき、共有点と円の中心の距離、つまり半径rが最小になるときは円が放物線に内接する時で、そのときの半径r（AB）,つまり円の中心Bと接点までの距離が最小値になります。接点における接線pは円と放物線の共通接線になります。その共通接線p上の接点Aにおいて、接線pと法線つまり半径r(AB)は直交します。
すなわち、このときの接点Aは円の中心(0,2)から接線pに下ろした垂線BAの足Aでもあります。
したがって接線p⊥ABのときAB=ｒは最小になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
内接の場合なんですね。外にはみ出して、接する場合も
あるのかと思ってしまうとダメなんですね。

お礼日時：2011/01/08 08:44

No.2 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/01/07 15:58

ABと接線が垂直じゃなかった場合、Aよりも近い点がAのすぐ隣(ABと接線が鋭角なほう)にあるから、じゃないですかねぇ？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
何となくわかるようでわからないようで
かんがえてみたいと思います

お礼日時：2011/01/08 08:37

No.1 回答者： aokii 回答日時： 2011/01/07 15:50

点Ｂ(0,2)を中心とする円をしだいに大きくしていってみて下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
円を次第に大きくするというのは、
わかりやすいです。

お礼日時：2011/01/08 08:35