「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

Kleinの4元群V4は交代群A4の正規部分群になりますが,これを示すには地道に計算するしかないのでしょうか?

Kleinの4元群は
V4={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
です.

そうすると,かなりの数の計算をしないとなりませんが,もう少しうまいやり方はあるのでしょうか?

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A 回答 (1件)

1 A4の位数はたったの12ですから、地道に計算しても大した手間暇でありません。

地道な計算も、存外、馬鹿にしたものでもありません。この作業をすることにより、問題の構造を体感できて、一般論への手掛かりが得られるからです。

2 一般論からのアプローチ

(巡回置換型)

置換を互いに素な巡回置換の積で表すとき、その長さの組み合わせを「巡回置換型」と言います。例えば、S4の中で、(13)(24)の巡回置換型は{2,2}、(134)の巡回置換型は{31}、単位元eの巡回置換型は、{1111}です。

容易に分かるように、

[1] 「Snの元aとbがSnで共役であるためには、aとbの巡回置換型が一致することが必要十分条件」

です。したがって、

[2] 「Anの元aとbがAnで共役であるためには、aとbの巡回置換型が一致することが必要条件」

です。

(Kleinの4元群)

V4は、巡回置換型が{1111}の元1個と、巡回置換型が{22}の元3個から成っていて、これで{1111}または{22}の巡回置換型を持つ元がすべて尽くされます。よって、上の[2]により、V4の元の共役元は、すべて、V4の中にあることになります。
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Aベストアンサー

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません。掛け算した答えは、必ず実数になりますね。

 #無理数も実数だからね。虚数にならなければいい。

ここで二項代数として成立。

単位要素は、「1」ですね。 任意のR0∋c について、

c×1=c 動かないので単位要素だね。

逆要素は、c^(-1)だね。 c×(1/c)=1 単位要素に帰るわけだから。

 #0をどけたのは、これができないから。

例) c=√2 のとき c×c^(-1)=√2/√2 =1

無限に要素があるけど、これはすごく簡明な群なんだけどな・・・。

この場合は数値になるから、Hもとりやすいと思うけれども。

取ってみてくれるかな? そしたら少しつかめると思うけど。


そしてね、どっかでこれ見たことあるなぁ~と思ってました。

「群論への30講」 志賀浩二 著 朝倉出版

この、第八項に同じのがある。

出身が電気工学で、この本で独学したんだ(^^;)

本屋さん(大きな)に行く機会があったら、捜してみて?

もう結構古いから、絶版かもしれないけれど。


代数を専門とされてはいないのかな。ちょっと出てきたと言う感じかな?

群 って言うのをもう少し分かってからのほうがいいのかもしれない問題かもね?

かじるくらいにしては、少し難しいかもしれない。


でもね、例に挙げたのが群だと思って、そこから部分群になるようにHの要素を

持ってきてみて?

それができると、ある程度見晴らしがでてくると思う。

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません...続きを読む


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