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1 一般に、指数が2の部分群は、すべて正規部分群である。
理由は、次のとおり。Gを群とする。Hを、指数が2の、Gの部分群とする。xを、Gの元であってHに含まれないものとする。指数が2だから、Hを法とするGの左剰余類は、HとHxから成る。Hxは、「Gの元のうちHに含まれないもの全体」である。同じように、「」内のことが、右剰余類xHにも言える。よって、Hx=xH、すなわちx^(-1)Hx=Hである。2 A4に位数が6の部分群Jがあったとすると、Jの指数は2である(A4の位数が12だから)。よって、1により、Jは正規部分群である。、
3 A4の共役類は1,3,4,4個の元からなる。これは、A4の各元の共役関係を実際に調べてみれば分かる(後出の参考を参照)。
4 Jが正規部分群だから、Jの元の共役元はすべてJに含まれる。すなわち、Jがある共役類の元を含んだとすると、Jは、その共役類を丸ごと含む。よって、3により、Jの位数は、1,3,4,4から選んだどれかの組み合わせの合計で表されなければならない。
5 しかし、1,3,4,4からどのように組み合わせても、合計が6にならない。この矛盾は、そもそも位数が6の部分群が存在すると仮定したことから生じたものである。
(参考)A4の元を下のようにaからlと置けば、共役類は、{a}、{b,f,g,k}、{c,e,h,j }、{d,i,l}である。以下、1,2,3,4をx,y,z,wに移す置換を[xyzw]と記す。巡回置換を( )で囲んで示す。
a = [1234] = 単位元
b = [1342] = (234)
c = [1423] = (243)
d = [2143] = (12)(34)
e = [2314] = (123)
f = [2431] = (124)
g = [3124] = (132)
h = [3241] = (134)
i = [3412] = (13)(24)
j = [4132] = (142)
k = [4213] = (143)
l = [4321] = (14)(23)
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