
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
単位元がない環の場合、次が反例になりそうです:
gを2以上の整数として、
A = B = gZ (gで割り切れる整数全体)
K = <(g, g)> ((g, g)で生成されるイデアル)
Kは、次のように書くこともできます:
[1] K = {(a, b) | a≡b≡0 mod g, a≡b mod g^2 }
もし、K = I×Jなら、
[2] I = { a | (a, 0)∈K }
J = { b | (0, b)∈K }
なので、[1]により、
I = (g^2)Z
J = (g^2)Z
(g^2で割り切れる整数全体)
でなければなりません。すると、I×Jに(g, g)が含まれないことになり、矛盾です。
[1]と[2]は、それほど自明でないかもしれませんが、証明できると思います。
この回答へのお礼
お礼日時:2011/03/02 15:59
常に成り立つだろうと思っていたのですが、単位元が存在しない場合は反例が存在したのですね。
丁寧に書いてくださって大変よくわかりました。
ありがとうございました。
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