コラッツテーブルがコラッツ予想を証明していることを説明

コラッツ数列の最大値とメルセンヌ数の最大値の比例関係から、ボトムアップ方式で生成したコラッツテーブルがコラッツ予想を証明していることを説明してみました。
https://note.com/s_hyama/n/nda0b090799c0

ご意見があれば、コメントください。

前の質問は以下になります。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12980388.html

質問者からの補足コメント

• ひゃま的には、自然数なら、１，２，３，４・・・
  と最大値が後発ででてきますが、
  コラッツ数列では、コラッツテーブルの行ごとが、一つの数値みたいな取り扱いで、中の個々の数値は小さくても、後で出てきてもいいじゃないと言う発想なために、大きな数値でも実際に証明してよにぴんときてないんですよね。
  テーブルに一回だけ数値はあることは保証されてたらいいじゃないって発想なんです。
  今回は、任意の数の桁数により最大値を先に決めて、テーブルをジェネレートする理由を示しましたが、
  個々では小さな数値が、それを含む行がコラッツテーブルでは後で出てきたら、ダメな理由はありますか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/17 22:54

• あなたの自然数が1，2，3・・・の順に出てきて最後に最大値がくると言う考え方を、数値群の並びで出てくると言う考え方にすればよいだけです。

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/06/19 10:47

• 行の4n+1が他の3n+1の数に置き換わってリンクできるようにリンクできますが、
  その3n＋１が高次のｘｘ111(2)である場合、数が増えるので、
  それを許容する最大値が求められるだけです。

    補足日時：2022/06/19 11:04

• それはメルセンヌ数の桁を上げて行けば、抜けの無い自然数を網羅できることと、
  任意の数がコラッツ数列で0世代繋がるのは、同じことです。

    補足日時：2022/06/19 11:08

No.11 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/19 15:13

はい、世代数でいいです

4n+1<2^m
の
時
4n+1は多くとも(2^m)世代の操作で1に到達できる事を証明して下さい

この回答へのお礼

3桁からメルセンヌ桁が上回りますが、桁が大きくなるにしたがって
メルセンヌ数と差が開きますが、証明する意味ありますか？

なんか補足でも、画像が添付できなくなり、説明しにくく申し訳ございません。

お礼日時：2022/06/19 17:33

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/19 11:22

では

4n+1<2^m
の
時
4n+1は多くとも(2^m)回の操作で1に到達できる事を証明して下さい

この回答へのお礼

それ、世代数でもいいですか？

お礼日時：2022/06/19 12:03

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/19 10:18

群論テーブルとして

生成したとしても
ツリーとしてつながる事を確認するから
生成した
数の世代が確定するのです

1は0世代
5は1につながるから1世代
9は17→13→5→1につながるから4世代
13は5→1につながるから2世代
17は13→5→1につながるから3世代
21は1につながるから1世代

というように

つながるのだけれども
たまたま値が小さいために1につながって世代が確定しているけれども

その中に1とつながらないどの世代にも属さない
4n+1
のグループ
がある事を否定できないのです

1とつながらないどの世代にも属さない
4n+1
のグループ
があれば
それにつながっている数は
すべて
1とつながらないしどの世代にも属さないのです

だから
すべての自然数に対して、
世代が確定する事を証明する必要があるのです
すべての自然数に対して、
世代が確定できるというのならば

3^43

は
何世代のメンバーか求めて下さい

この回答へのお礼

いいえ、実際に世代が何世代であることと、
世代がないテーブルが一意でできることとは別です。
出来たコラッツテーブルは、3の奇数倍の行の4n+1が他の3n+1の数に置き換わってリンクできるようにリンクできます。

お礼日時：2022/06/19 10:41

No.8 回答者： masa2211 回答日時： 2022/06/19 09:18

別観点から。

以下、引用部分は、
https://note.com/s_hyama/n/nda0b090799c0
です。


数学用語を普通とは違った意味で使っていて、かつ用語を定義していないから、ホントは何を示しているのか考えながら文章を読まなければならないので非常にメンドイというのが第一印象。
そして、解読した後の話になりますが、
>コラッツ数列の最大値とメルセンヌ数の最大値の比例関係
ここにゴマカシがありそう。

表-4にて、メルセンヌ数255の列の値を例とします。
メルセンス数行最大値は、初期値をメルセンヌ数255としたときのコラッツ行列の最大値。（メルセンスって何？メルセンヌの単純な誤字とみなす。）
初期奇数／コラッツ行列の最大値　は、この値までコラッツ行列の最大値を計算してもメルセンス数行最大値以下となるような初期値と、その初期値に対するコラッツ行列の値。
※計算メンドイのできっちり計算したわけではない。
そうであれば、
>コラッツ数列の最大値とメルセンヌ数の最大値　　は、比例するのに決まっていて、問題となるのは、メルセンヌ数と初期値の関係。
明らかに、初期値の伸びが悪い。（数値で見ても、桁数で見ても、伸びが悪い。）
※別法。メルセンス数行最大値と、メルセンス数以下の数値すべてを初期値としたときのコラッツ行列の最大値 　　を比べる。　　表4の範囲内で、明らかに比例より強烈に初期値のほうが伸びている。

※比例関係とは、Y=AXの関係で、別にAが100でも１兆でもいいのだけど、Y=AX＾1.000001
とかはアウト。Y=AX＾0.99999は、比例でないけど、証明の趣旨としてはセーフ。

以下、数学の問題。あなたの題意に沿うような解釈　ということを解除し、数学で普通に解釈する。

図1。
比例関係示したいなら、このグラフはだめ。
そもそも、Ｘ軸が何か説明がない。まあ、表4のメルセンヌ桁数なんだろうけど。
X、Yが　　メルセンヌ数の行の最大値　　と　　任意の数のコラッツ数列の最大値
でないとダメ。X、Yの数値の幅が大きすぎるので意味ないが、かといって両対数（＝桁数）で書くと、
Y=X^B　のようなグラフも直線となってしまい、比例かどうか見分けるのがメンドイ。

冒頭部分。
＞任意の数のコラッツ数列における最大値と、その任意の数の２進桁のメルセンヌ数の最大値に比例関係がある
たとえば、任意の数とは、5とする。
・任意の数のコラッツ数列における最大値　　とは。
任意の数の２進桁は、5の2進桁なので3。
任意の数の２進桁のメルセンヌ数　は、2^3-1なので7。
任意の数の２進桁のメルセンヌ数の最大値　は、7までのメルセンヌ数の最大値なので7。
※題意通りに解釈すると、7のコラッツ数列の最大値なので52。字句通りの解釈では、こうならない。（任意の任数の２進桁のメルセンヌ数におけるコラッツ数列における最大値　であるのだけど、「コラッツ数列における」、が省略されたため、意味が変わってしまう。）

・任意の数のコラッツ数列における最大値　　とは。
任意の数とは、5とした場合、最大値は16。
・任意の数のコラッツ数列における最大値と、その任意の数の２進桁のメルセンヌ数の最大値をグラフ化
任意の数とは、たとえば1024を含むが、これは簡単に収束する。（偶数含むとは書いていないのでこうなる。）

・任意の数のコラッツ数列における最大値と、その任意の数の２進桁のメルセンヌ数の最大値に比例関係がある
は、そういう数も含めて（そうでないと任意の数といえない。）任意の数の２進桁のメルセンヌ数の最大値に比例関係があるとしないとＮＧなのだけど、ばらつきがすごすぎて、そんなわけない。

それを救うためには、
・任意の数の２進桁のメルセンヌ数の最大値　は、メルセンヌ数を初期値としたコラッツ数列の最大値
・メルセンヌ数以下の値を初期値としたコラッツ数列（複数あり）のうちの最大数
と読み替え、ようやく意味が通ることになるのだけど、忖度しすぎだし、肝心の表-4がそうなっていないので
いったいどう読めば表-4のような解釈できるのか？が、わかりません。


要するに、文章がへたくそ。

この回答へのお礼

それ私がやり始めるまえの考え方ですね。
たとえば初期値27の二進数で5桁のメルセンヌ数行の中の4n＋1、つまり01(2)は161ですが、それはメルセンヌ数255までのリンクを必要とします。そのメルセンヌ数行の12n+3は13120なんです。それは27のコラッツ数列の最大値9232と比例すると言うことです。
だから誤魔化しでも何でもなくて翻訳してるだけで同じことなんです。

文章が下手くそなのは認めますが・・・
あとでまとまればいい。

お礼日時：2022/06/19 10:16

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/19 04:56

１，５，９・・・というふうに4n+1の順に生成しても

その順番にはつながらないのです
実際には
1←0世代
5←1世代
13←2世代
17←3世代
9←4世代
と
つながるのだけれども
たまたま値が小さいために1につながって世代が確定しているけれども

その中に1とつながらないどの世代にも属さない
4n+1
のグループ
がある事を否定できないのです

1とつながらないどの世代にも属さない
4n+1
のグループ
があれば
それにつながっている数は
すべて
1とつながらないしどの世代にも属さないのです

だから
すべての自然数に対して、
世代が確定する事を証明する必要があるのです
すべての自然数に対して、
世代が確定できるというのならば


3^43

は
何世代のメンバーか求めて下さい

この回答へのお礼

それ私がやり始めるまえの考え方ですね。
たとえば初期値27の二進数で5桁のメルセンヌ数行の中の4n＋1、つまり01(2)は161ですが、それはメルセンヌ数255までのリンクを必要とします。そのメルセンヌ数行の12n+3は13120なんです。それは27のコラッツ数列の最大値9232と比例すると言うことです。
だから誤魔化しでも何でもなくて翻訳してるだけで同じことなんです。

お礼日時：2022/06/19 10:11

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/19 04:13

では

3^43

は
何世代のメンバーか求めて下さい

この回答へのお礼

そうね、大きな数値で実際、群論テーブルを生成しなくても、決まってるので、世代は決まってますね。
ご指摘のその問題はいづれ解決しようと考えてますが、この群論テーブルが相であると言うことと分けて考えます。

お礼日時：2022/06/19 10:14

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/18 15:47

１，５，９・・・というふうに4n+1の順に生成しても

その順番にはつながらないのです
実際には
1←5←13←17←…←9
と
つながるのだけれども
たまたま値が小さいために1につながってはいるけれども

その中に1とつながらない4n+1がある事を否定できないのです

この回答へのお礼

別に最大値を決めて、0世代で現れた奇数から第一世代、次の世代という手順でも生成できますよ？
Table 6. A table of the Collatz pairs, ordered by Generations 0-3 of the Roots Odd group with a numerical limit of 10 000.
https://note.com/s_hyama/n/n207a1363c9aa

また4n-1からでも、１，２，３からでもマッチング手順が違うだけで、できるコラッツテーブルの世代と奇数メンバの関係は同じです。

それが群論テーブルとツリー理論の違いです。
あなたのいってるのは、ツリー理論の世代がない考え方に留まってます。

お礼日時：2022/06/19 09:53

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/18 15:34

テーブルに一回だけ数値はあることは保証されてはいません

」
というのは
「
1につながるテーブルに一回だけ数値はあることは保証されてはいません
1につながるテーブルに一回もあらわれない数値がある可能性を否定できない
」
という意味です

この回答へのお礼

コラッツはツリー理論からコラッツ予想を思いついたらしいですが、
ボトムアップのコラッツテーブルっていうのは、0世代から世代ごとにジェネレートしますので群論なんです。
最大値によって、世代内の奇数メンバは増えますけど、たとえば27という数字は、最大値に関係なく17世代のメンバに過ぎません。
だからツリー理論ではないんです、群論なんです。
0世代グループ→1世代グループ→・・・・

お礼日時：2022/06/18 22:46

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/18 04:09

コラッツ数列にすべての自然数が現れる保証はどこにもないのです

最大値が存在することは証明されていません
中の個々の数値は小さくても、後で出てくる保証はどこにもないのです
テーブルに一回だけ数値はあることは保証されてはいません
任意の数の桁数により最大値が存在することは証明されていません
個々では小さな数値が、それを含む行がコラッツテーブルでは後で出てくる保証はどこにもないのです
たまたま数値が小さいため、有限回の操作で出てきたという疑いを否定できません
ので
証明が必要なのです

自然数のように無限にあるものに対しての証明は
通常
数学的帰納法を使って証明するのです

数学的帰納法を使えば

n=1の時成り立つ事を証明し

ある自然数nに対して
自然数k≦nに対して成り立つ事を仮定し

n+1に対して成り立つ事を証明すれば

すべての自然数nに対して成り立つ事を証明できるのです

この数学的帰納法を使うためには

ある程度の順に並んでいなければならないのです

例えば

4n+3型の奇数は4n+1型の奇数に有限回の操作で到達できる事は証明できますが

4n+1型の奇数はk<nとなる4k+1型の奇数に到達できる事は証明できません

この回答へのお礼

＞テーブルに一回だけ数値はあることは保証されてはいません

Odd-Evenのコラッツペアは重なることはないので、たとえば５－１６－８の行のコラッツ行はテーブル内で一意ですよ？
またそれが一意であれば、それに繋がるOdd-Oddペアも一意です。
3-5-16-8
それが一回だけでないとおっしゃる方がおかしいです。

１，５，９・・・というふうに4n+1の順に生成すれば、行ごとに一回だけ、無限に向かってテーブル生成します。

その行の奇数と最大値制限しなければRoots Odd zの奇数は必ずつながりますよ？
その繋がる順番が自然数順でないだけです。
1-4-2の行から、次の世代に繋がるっていくだけですが？
数値単位に１，２，３に増えていくだけないだけです。
数値の大きさに関係なく、つながる順番が行単位になるだけでしょうね。

お礼日時：2022/06/18 05:43

No.2 回答者： BlockedOldMan3 回答日時： 2022/06/17 13:37

１からコラッツ漸化の逆をたどることで

コラッツ予想を証明しようというのなら、
逆をたどっていくと全ての自然数が登場する　←[*]
ことを示さなければならない。それができてない
って前回質問でも前々回質問でも回答したが、
ブロックするだけで、反論は全くしていないね。

コラッツの漸化を、偶数漸化と奇数漸化でなく、
奇数漸化のほうは後続する偶数漸化とまとめることで
3で割って1余る数は表に現れないようにした上で
「全ての自然数は登場しないだろ」というのは、
話を誤魔化しているに過ぎない。
表を偶数→偶数漸化と偶数→奇数漸化に分けたことも、
その誤魔化しを見えにくくする迷彩だろうと思う。

[*]で全ての自然数が登場することを示していなければ、
「全ての自然数が」漸化の末に1になることを
示したことにはならない。単純にそれだけの話だ。

リンク先の「説明」は、255以下 とか 131071以下とか
具体的ないくつかの自然数がコラッツ予想を満たすことの
例になっているが、そのような例示は
全ての自然数がコラッツ予想を満たすことの証明にはならない。

その証明が完成するためには、[*]を示さなければならない。
そうでなければ、その説明は、証明ではなく
コラッツ予想が成り立ちそうな気がする理由であるに過ぎない。