「教えて!ピックアップ」リリース!

長くなったので、以下の質問を閉じてました,Part2でお願いします。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12975055.html

ボトムアップ方式の定式化によって証明してみました。
https://note.com/s_hyama/n/n207a1363c9aa

証明になっていますでしょうか?

「ボトムアップ方式の定式化によりコラッツ予」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 4n+1と4n+3~には、Odd-evenペアがユニークなので、それに紐づくOdd-oddペアも一回づつ全奇数が現れるけど、Roots odd zは、4n+1からしか入ってこないので、3n+1の奇数しかなく、3の奇数倍は入らないことを証明を分かり易く図で補足入れていきます。

    「ボトムアップ方式の定式化によりコラッツ予」の補足画像1
    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/06/04 17:23
  • だから最大値を指定しているのは、27がつながるまでの、一意に配列できる4n+1,4n+3の奇数をジェネレートするための制限を広げているにすぎません。

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/06/04 22:19
  • もっというと、最大値というより、連続する111₍₂₎の何処まで連鎖するかということだけなんです。
    これは最大値を対数的上げて行けば、連続する1の数も増えていくので、発生できる世代が増えるので
    すべての任意の数が有限内で1に戻ることが言えるだけですね。下の表に上では、奇数を33まで生成して、31=11111₍₂₎は世代から漏れ、27は世代に入ってきませんが、奇数を3333まで生成すると、511₍₂₎=111111111₍₂₎未満の世代に入るので、27も入ります。

    「ボトムアップ方式の定式化によりコラッツ予」の補足画像3
      補足日時:2022/06/05 09:01
  • 訂正
    もっというと、最大値というより、連続する111₍₂₎の何処まで連鎖するかということだけなんです。
    これは最大値を対数的上げて行けば、連続する1の数も増えていくので、発生できる世代が増えるので
    すべての任意の数が有限内で1に戻ることが言えるだけですね。下の表に上では、奇数を33まで生成して、31=11111₍₂₎は世代から漏れ、27は世代に入ってきませんが、奇数を10000まで生成すると、511=111111111₍₂₎未満の世代に入るので、27も入ります。

      補足日時:2022/06/05 09:20
  • コラッツテーブルにおける最大数とメルセンヌ数の桁の関係をグラフにしました。

    「ボトムアップ方式の定式化によりコラッツ予」の補足画像5
      補足日時:2022/06/05 10:06
  • 最大値と言うのも正確ではなくて、27<=31というメルセンヌ数を通りますが、911も通りますので、511のメルセンヌ数まで、コラッツテーブルを作らないと、911の行が生成されないのです。
    つまり2の5乗まで全数を通すには9乗まで、9乗まで全数を通すには13乗までのメルセンス数まで、2の4乗倍のメルセンス数までジェネレートする必要があります。

    「ボトムアップ方式の定式化によりコラッツ予」の補足画像6
      補足日時:2022/06/06 08:31
  • 全奇数をテーブルの一つの位置にマップできると言うことは、すべての山(RootsOddの谷から3x+1の偶数を頂として右側のOddを谷)をつくれるということだから、コラッツは、任意の奇数の桁数+3ビットのメルセンス数以下をジェネレートすれば、任意の数に対する山はリンクしてくるので、メルセンス数の桁の最大数をそれに設定すれば、ボトムアップできるので、任意の数は無限ではないんです。

    だから27は二進数では5桁+3ビット=8ビットのメルセンス数=255の3x+1の偶数の最大値は、13120までジェネレートすれば、31までの数値は全部繋がります。
    もっといえば、最終桁が0011(2)になるルートに入るように、ルートを準備=任意の桁のメルセンス数をピークに準備すれば、1に入る全ルートが揃います。

    「ボトムアップ方式の定式化によりコラッツ予」の補足画像7
    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/06/07 09:19
  • だから任意の数の桁数の1に到達する、もしくは1からボトムアップするために全ルートを用意できる有限なメルセンス数がある=最大数があるということです。

    「ボトムアップ方式の定式化によりコラッツ予」の補足画像8
      補足日時:2022/06/07 09:28
  • 以下の文章が矛盾してます。 全奇数をテーブルの一つの位置にマップできます。
    マップできるから、ツリー1も形成できます。

    >全奇数をテーブルの一つの位置にマップできるとはいえません
    >無限に奇数を一回だけ並べるツリーを形成できることが保証されてはいえません
    >ツリー1は
    >1につながるツリーであって
    >そのテーブルはツリー1ではありません

    No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/06/07 11:54
  • (2^68)+3は、良い問題ですね、表現方法は考えてみます。

    考え方は、7の子は、7±4の3,11
    11の子は、11±2の9,13という考え方をします。

    「ボトムアップ方式の定式化によりコラッツ予」の補足画像10
    No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/06/07 19:28

A 回答 (6件)

(2^68)+3


は簡単に2^68以下の数に到達できるのでやめます
(2^68)+3ではなく3^43>2^68なので

3^43

から
始めて、2^68以下の数に到達できる事を証明してください
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この回答へのお礼

そういう問題でもないとは思いますが、
今の証明の仕方を補完した後と、
大きな数字の扱い方を勉強してからになるので、時間が掛かります。

お礼日時:2022/06/08 14:28

4n+1、つまりOdd-Evenペアは無限に一意に、1,5,9・・・と並べることができるけれども


ツリー1につながって並んでいるわけではありません

1,5,9,13…と並んではいません

1,
5,21
13,53
17,
29,61,
9,325,
25,433,

のように
9よりも13の方が1に近いので
小さい順には並んではいません
従って
ツリー1に1度も現れる事が無い数がある可能性を否定できません
(2^68までの数は現れる事は証明されているけれども)

コンピュータを用いた計算により、2^68 までの初期値には反例がないので

2^68以下の数ではコラッツ予想は成り立つのです

2^68より大きな数で成り立つ事は証明できていないのです

証明できたのならば

2^68より大きな数で成り立つ事を証明してください

例えば

(2^68)+3

から
初めて、2^68以下の数に到達できる事を証明してください
この回答への補足あり
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全奇数をテーブルの一つの位置にマップできるとはいえません


無限に奇数を一回だけ並べるツリーを形成できることが保証されてはいえません
ツリー1は
1につながるツリーであって
そのテーブルはツリー1ではありません

最終桁が0011(2)になる数は4n+3型奇数だから
4n+3型奇数は有限回の操作で4n+1型奇数に到達できるけれども

4n+1型奇数はそれより小さい(n>k)4k+1型奇数に到達できるとはいえないのです

4n+1型奇数の次の数は小さくはなるけれども4k+3型になり
4k+3型奇数は有限回の操作で4m+1型奇数に到達できるけれども
4m+1型奇数は4k+3型奇数より大きくなり結局
4m+1>4n+1になり、これを繰り返すと
無限に増大する可能性があるのです

コンピュータを用いた計算により、2^68 までの初期値には反例がないので

2^68以下の数ではコラッツ予想は成り立つのです

2^68より大きな数で成り立つ事は証明できていないのです
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

4n+1、つまりOdd-Evenペアは無限に一意に、1,5,9・・・と並べることができます。4n+3のOdd-OddペアもそのOdd-Even行にたとえば、8-5-3に並びます。
その仕組みは、論文に書いている通りです。
したがって、ある桁のメルセンス数内の、より大きい数の子供たち(あるメルセンス数の連続する1より小さい数値)も、一意に並びます。

で、そのOdd-Evenペア列のはコラッツルールで、Odd-Even(4n+1)未満のRootOdd z(3n+1の奇数)しか生成されないのが保証されていますので、
一定のルールがあるということで、無限にRoots oddが生成されるわけではありません。

お礼日時:2022/06/07 11:38

確かに



4n+3型奇数

有限回の操作で

4n+1型奇数
に到達できます

だから

すべての4n+1型奇数に対して
有限回の操作で1に到達できる事を証明すれば

すべての自然数に対して
有限回の操作で1に到達できると証明した事になります
だけれども

すべての4n+1型奇数に対して
有限回の操作で1に到達できる事はまだ証明されていません

すべての奇数4n+1に対して
有限回の操作で
(kを0≦k<nとなるある整数とする)
奇数4k+1に到達できる事を証明すれば
帰納法で
すべての奇数4n+1に対して
有限回の操作で1に到達できる事を証明できるけれども

すべての奇数4n+1に対して
有限回の操作で
(kを0≦k<nとなるある整数とする)
奇数4k+1に到達できる事は
まだ証明されていません
証明できないのです
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

もっといえば、自然数は4n+1の4n+3と交互に出てきますが、
コラッツ数列では、4n+1に対して、メルセンス数のピークとして、
4n+1群と4n+3群の山が形成されることが重要です。

お礼日時:2022/06/07 09:50

27 のコラッツ数列の最大値は9232というのは



(27*3+1)/2=41
(41*3+1)/4=31
(31*3+1)/2=47
(47*3+1)/2=71
(71*3+1)/2=107
(107*3+1)/2=161
(161*3+1)/4=121
(121*3+1)/4=91

という計算を何回か繰り返して

1に到達した結果で

最大値は9232

わかったのですよね

だから

27の場合は有限回の操作で 1に到達できたのだから
その時点で
27の場合の証明はできたといえますが

全ての自然数nに対して

有限回の操作で 1に到達できるという証明にはなっていません

無限に操作しても 1に到達できない場合は
最大値を求めることはできません
最大値が求められなければ
nの4倍以上の倍数のEven 3x+1で、Odd xが割り切れる数が、
無限にジェネレートされます
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

4n+1と4n+3の構造上、無限に奇数を一回だけ並べるツリーを形成できることが保証されているので、任意の数が1に到達できるまで、つまり世代がつながるまで、有限界でに到達できるというのが、

■3n+1問題の書き換え(*3)■
ツリー1にはすべての自然数が1回ずつ登場する
 これが証明できれば,3n+1問題は解決してしまうが,・・・.

https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/collatz1 …

の意味ではないでしょうか?

お礼日時:2022/06/04 22:11

スレッドを変えても、


いくつかの数についてコラッツ予想どおりであることを実験することは
「全ての自然数から出発して」予想通りになることの証明にはならないって。

前回のベストアンサーに
> 最大値はいくらでもよいのですが、
> 任意の数に対して無限にジェネレートする必要がないだけです。
とコメントっしているが、
コラッツの漸化に無限大発散する系列が無いかどうかにも証明は必要。
君はしてない、というか少なくとも書いてないよね。

私の回答に
> その前に、君がいった、すべての奇数がOddyに現れるっていうのを説明したら?
とコメントしているが、
それを示すのがコラッツ予想の証明だから、やらなきゃならないのは
私ではなく「証明できた」と主張してる人だよ。
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

あほ、チャンスはあったのに、BLいりだね。
すべての数は入らないよ、最初の数は、奇数から始めていいので3の奇数倍は端点だかっらね。

お礼日時:2022/06/04 16:14

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