ユークリッド空間と距離空間の違いについて

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質問者：cantor
質問日時：2011/03/15 15:20
回答数：2件

位相の本を読んでいるのですが
ユークリッド空間と距離空間の違いがよくわかりません。
両方とも距離が定義されています。
違いと言えば、対象としている集合が
ユークリッド空間R^n
距離空間は、一般の集合
です。

一般の集合に対して、距離というものが定義できるものが
距離空間で、ユークリッド空間はその１つと考えれば
よいのでしょうか。

以上です。

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回答 (2件)

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No.2

回答者： Tacosan
回答日時：2011/03/15 22:20

ん～, 「つまらない」といえばその通りではあるんだけど, 「定義を確認する」というのは重要なことだよね.

「集合」として R^n を取り, その 2つの要素 x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn) に対して d(x, y) = √((x1-y1)^2 + ... + (xn - yn)^2) という関数を定義するとこれは「距離の公理」を満たす. だから「R^n と d のペア」で 1つの「距離空間」となり, これを「(n次元) ユークリッド空間」と呼ぶ, と.
「距離」として違うものをもってくれば当然違う距離空間が得られます.

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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
なかなかよい意味でほっといて、先に進むということが
出来ない性分なので質問させて頂きました。
なんだそんなものかという気持ちになりたかったのです。

これに限った話ではありませんが
発想が面白いですね。

距離そのものの定義ではなく、距離が満たす性質
を取り上げ、これを満たすものを距離とする。
こうして定義した距離とその集合で、距離空間というものが
構成される。

この前、線形代数の勉強をしていたのですが
丁度、線形空間もこれを満たすものを線形空間といい
その要素をベクトルという。
そうすると、有効線分で表現される幾何ベクトルだけではなく
様々なものが扱える。
これも距離を抽象化して、距離空間を考える。
あとは、そう定義した空間が面白いかどうかなのでしょうけれども
とても面白いなと思います。

ただ、距離空間そのものは、位相空間の前座みたいなもので
これ自身、それほど話題が豊かな素材でもないと思うのですが
先に控えている位相が楽しみです。
今後の数学的な構造を見るための文法のような気はしますけれども。

ちなみに、Wikipediaを見たら
ハミング距離
なんてものもあるのですね。