くやしいので、解いてみました。チェックお願いします

ある質問に回答したところ

＞このぐらい「自分でわかりませんか？」今までの回答者への再質問等から察っして下さい。
もし、自分で理解できないなら、おそらくわたし以下の学力ですので、回答しないほうがいいかと思います。（失礼ですが、事実ですので。）

＞この記述で自分はこの質問に答えられませんと言っているようなものですね（＾＾）
などの暴言を受け、大きな屈辱を受けました。

詳しくは　http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6642327.html

前置きが長くなり、申し訳ありません。


問題

sin2θ+2sinθ＝k(1+cosθ）・・・・・・（１）

（１）が相異なる3個の解をもつとき、最小の解をαとする。このとき、sin２αを求めよ。

という問題なのですが、誘導によって、kの範囲が　－２＜ｋ＜０、または０＜ｋ＜２
となりました。

当然、２パターンに場合わけして解きますが、－２＜ｋ＜０のときの場合、
－１＜（ｋ/2)＜０ですので、最初のαはπにはならないと考えたのですが、
河合塾の回答を見ると、αはπとなっています。

なぜか教えてください。（できれば解答と途中も）

参考程度に答えは　　
０＜ｋ＜２のとき　｛ｋ√（４－（ｋ＾２））｝/２
－２＜ｋ＜０のとき　０


私の解答・・・問題は誘導式になっているみたいですが、記載がないので記述式で解きます。

回答する方は採点者のつもりで、矛盾点や不合理な個所をご指摘下さい。

sin2θ=2sinθcosθ これから、(1)式を変形して

（２sinθ-k)(1+cosθ）=0 ・・・(2)　　　

前回の回答のここでミスった、方程式A＝BからAーB＝０とするところを、A＝B＝０としてしまった。

(1+cosθ）=0よりθ＝π　相異なる3個の解をもつとき・・・から

残り２個の解をθ≠πとした・・・(3)

２sinθ-k＝０より　　　－１＜k/２＜１、(3)よりk/２≠０

０＜k/２＜１のときsinθ＞０、sinθ＝ｋ/２のとき　cosθ＝±√（１－（k/２）^2

sinθ＞０を満たすθは０＜θ＜π/２、π/２＜θ＜π　このとき
　
cosθ＞０、cosθ＜０を満たすθはそれぞれ　０＜θ＜π/２、π/２＜θ＜πであるので

最小のθは０＜θ＜π/２の範囲にある・・・※１

このとき、cosθ＞０であるので、cosθ＝√（１－（k/２）^2

sinθ＝ｋ/２のとき　２sinθ＝ｋ

(1)より　sin２θ＝k(1+cosθ）-2sinθ・・・・・・（１）

　＝k{１＋√（１－（k/２）^2｝-k＝ｋ√（４－k^2)/2

同様に－１＜k/２＜０のとき、sinθ＜０、これを満たすθは　

π＜θ＜３π/２、３π/２＜θ＜２πの範囲にあるので・・・※２　このときの最小のθはπである。


答え　　　０＜ｋ＜２のとき　ｋ√（４－（ｋ＾２）/２　　　　　　－２＜ｋ＜０のとき　０

０＜ｋ＜２のとき　誘導型では上式の型が出来ているのだろう。

記述式の場合、「ｋを用いた式で表せ」と条件がつくと思う。　　以上

特に、※１、※２の考え方で間違いないか、ご吟味お願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Kules 回答日時： 2011/04/08 00:28

私の見た感じではおかしなところはなさそうです（高校数学から離れて少し経ってるので断言はできません）が、

大前提としてθの範囲は決められているのでしょうか？

極端な話、0≦θ≦6πの場合、cosθ=-1を満たすθ=π、3π、5πとなってすでに相異なる3つの解を持ち、
（2sinθ-k)(1+cosθ）=0
の（2sinθ-k)=0が解を持つ必要がなくなってしまいます。
この場合、k<-2またはk>2でなくてはならないと思うのですが。
また、ひねくれた考え方だと思いますが、
θの範囲が0≦θ<2πではなくπ/2≦θ<5π/2の場合、
>最小のθは０＜θ＜π/２の範囲にある
とは言えませんよね。
私が見落としているんでしょうか…？

参考になれば幸いです。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

＞θの範囲は決められているのでしょうか

のちに　０≦θ＜２π　と補足に加えられました。

補足日時：2011/04/08 14:08