問題

箱A,Bのそれぞれに赤玉1個白玉3個合計4個ずつ入っている。一回の試行で
箱A、Bの箱から無造作に1個ずつ選び交換する。この試行をn回繰り返した後、
箱Aに赤1個白3個入っている確率Pnを求めよ。

という問題がありました。
〔解答〕、
試行をn回繰り返した後→n+1回後への箱Aの変化の様子から
漸化式をつくる。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
疑問1
なぜ、n回からn+1回への状況変化なのでしょうか?
n回目のときにAに赤1白3はいっている確率なのだから、
やるとしたら、n-1回目からn回目の情況変化だとおもうのですが・・・・
n回目のときにAに赤1白3なのにn+1回めのときを考えているのはなぜでしょう?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

試行をn回繰り返した後の箱Aに入っている玉は
赤1 白3
赤0 白4
赤2 白2
の3通りでそれぞれの情況である確率をPn、Qn、Rnとおく。

1回の試行で箱Aに入っている玉が
(1)赤1 白3から赤1 白3になる確率は5/8
(2)赤0 白4から赤1 白3になる確率は1/2
(3)赤2 白2から赤1 白3になる確率は1/2
これらは排反であるので

Pn+1=Pn×5/8+Qn×1/2+Rn×1/2

Pn+1=1/8Pn+1/2
この漸化式は
Pn+1-4/7=1/8(Pn-4/7)

なのでPnのn=0のときは1なので
Pn=4/7+3/7(1/8)^n・・・答え
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
疑問2
なぜ、n=1の時ではなくn=0のときなんでしょうか?
試行がおこなわれず、0回のときもあるからで、n≧1ではなく
n≧0からですか?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

A 回答 (3件)

疑問1:


n 回から n+1 回への状況変化を考えても、
n-1 回目から n 回目の情況変化を考えても、全く同様に解くことができます。

貴方が思うように漸化式を立てて、できた式と解答例の式を比べてみましょう。
正しく立式できていれば、n = m-1 で置き換えれば、同じ式になります。
悩む前に、解いてみたほうが早い。

疑問2:
試行を n 回繰り返した後に箱Aに赤1個白3個入っている確率Pnを考えても、
n 回目の試行を行う前に箱Aに赤1個白3個入っている確率Snを考えても、
問題を解くことはできます。(Snで解くと、最後にPnに翻訳することになるが。)
だから、「0 回のときもあるから、n≧1 ではなく n≧0 から」という考えには
意味がありません。Sn で解くときには、n≧1 になるのですから。

最初の n を何にするかは、初期条件の n を何にするかによって決まります。
解答例では、試行を行う前に箱Aに赤1個白3個入っている確率を 1 と求めて、
それを P0 としているのですから、最初の n は 0 になるのです。
試行を行う前に箱Aに赤1個白3個入っている確率 1 を S1 と置けば、
最初の n は 1 になります。
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この回答へのお礼

なるほど~~よっく理解できましたよ。
わかっているようでわかっていない数列の根本的な部分も理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/11 15:52

P(1)=5/8だから Pn=4/7 + 3/56 × (1/8)^(nー1)


だからどっちでやっても同じになるので
どっちでも正しいとおもいます
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
それでもできるのですね。
私はぱっと、P(!)の方が浮かんでしまったので、
それでもできると聞いて安心しました。

お礼日時:2011/04/11 15:53

nからn+1 でもn-1からnでもどっちでもいいと思いますよ



n=0の時は赤1、白3だから確率1でいいんですよ
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
どちらでもよいのですね。
実際にやってみたいと思います。

お礼日時:2011/04/11 15:53

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Q受検戦略 慶應薬学部 漸化式

漸化式の問題にどう対応しようか迷っています

第一志望は慶應薬学部
1 全体的な傾向としては 大問4~5 計算量多め 難問少な目 
2 漸化式は頻出 公式そのままで解ける問題以外にも
  確率と絡めた問題など高度な部分まで出題されています


取り得る戦略として
1 漸化式 → 一般項 の受検で問われやすいパターン全て暗記
2 漸化式 → 一般項 の基本的なパターンだけ暗記し、あとは導出できるようにする
3 漸化式 → 一般項 の受検で問われやすいパターンをすべて導出できるようにする

※導出法としてはhttp://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/sazen01.htm
にある「定型問題は等比数列に持ち込む」「非定型問題は推定+数学的帰納法」でいこうと
考えています

があると思うのですが、どれを採用するべきですかね?
自分はいままで数学は極力暗記に頼らない方法をとってきましたし
慶應薬学部は応用的な漸化式の問題も出てきますので3でいきたいような気もするのですが
漸化式は暗記に頼る方法を採用する人も多く迷っています

どうするべきでしょうか?
ご意見よろしくお願いします
(ご自身が、受検時に合格された大学も書いていただけると非常に参考になります
 できればあわせてお書きください)

漸化式の問題にどう対応しようか迷っています

第一志望は慶應薬学部
1 全体的な傾向としては 大問4~5 計算量多め 難問少な目 
2 漸化式は頻出 公式そのままで解ける問題以外にも
  確率と絡めた問題など高度な部分まで出題されています


取り得る戦略として
1 漸化式 → 一般項 の受検で問われやすいパターン全て暗記
2 漸化式 → 一般項 の基本的なパターンだけ暗記し、あとは導出できるようにする
3 漸化式 → 一般項 の受検で問われやすいパターンをすべて導出できるようにする

※導出法...続きを読む

Aベストアンサー

・どの本でも準公式としては扱ってない
・導出するにせよ、1分くらいでできる。
漸化式によっては2分くらいかかるかも。
・そもそも正確に覚えていられない
・数列のその「特定の形の漸化式の一般項を求める問題」に
入試で出くわす確率が非常に低い

こんなことあたりが理由で、
覚える人はほとんどいないと思います。

ただ、容易に覚えられて
しかも忘れずに正確に記憶していられる自信があるなら、
覚えてもいいんじゃないでしょうか。

Q赤玉、青玉、白玉がそれぞれ2個ずつ入った袋から、同時に2個の玉を取り出す時、次の確率を求めなさい。

赤玉、青玉、白玉がそれぞれ2個ずつ入った袋から、同時に2個の玉を取り出す時、次の確率を求めなさい。

(1)1個が赤玉、1個が白玉が出る確率

( 2 )2個とも異なる色がてる確率

( 3 )2個とも同じ色が出る確率

数学の問題です。分からないので、1からわかりやすく教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

先ずは一遍にやらないで、起こりえる場合の数を数えて見る。
上手いやり方はその後勉強すれば良い。

起こりうる場合の数を正確に数えて分母、出た結果の色も場合の数を正確に数えて分子とする。

起こりうる場合の数は30通り。赤赤でも場合の数は2通りある。
各球に番号を付けると以下
赤1、赤2、青1、青2、白1、白2

ここから2個取り出す場合を列挙して見る

赤1-赤2、赤1-青1、赤1-青2、赤1-白1、赤1-白2
赤2-赤1、赤2-青1、赤2-青2、赤2-白1、赤2-白2
青1-赤1、青1-赤2、青1-青2、青1-白1、青1-白2
青2-赤1、青2-赤2、青2-青1、青2-白1、青2-白2
白1-赤1、白1-赤2、白1-青1、白1-青2、白1-白2
白2-赤1、白2-赤2、白2-青1、白2-青2、白2-白1

可能性は30通り

(1)1個が赤玉、1個が白玉が出る確率
赤白は上に列記した中で、8通りの場合がある


( 2 )2個とも異なる色がでる確率
上に列記した中で異なる色は24通りの場合がある

( 3 )2個とも同じ色が出る確率
上に列記した中で同じ色は、6通りの場合がある

先ずは一遍にやらないで、起こりえる場合の数を数えて見る。
上手いやり方はその後勉強すれば良い。

起こりうる場合の数を正確に数えて分母、出た結果の色も場合の数を正確に数えて分子とする。

起こりうる場合の数は30通り。赤赤でも場合の数は2通りある。
各球に番号を付けると以下
赤1、赤2、青1、青2、白1、白2

ここから2個取り出す場合を列挙して見る

赤1-赤2、赤1-青1、赤1-青2、赤1-白1、赤1-白2
赤2-赤1、赤2-青1、赤2-青2、赤2-白1、赤2-白2
青1-赤1、青1-赤2、青1-青2、青1-白1、青1-白2
青2-赤1、...続きを読む

Q数列 漸化式

A(n+1)=2A(n)+n (初項A(1)=1)
という数列があるとします。

この一般項の形を求めるのに、この漸化式を満たす数列{B(n)}=αn+βを設定して、
この漸化式に代入、恒等式から{B(n)=-n-1}がわかります。

この{B(n)}の式が最初の漸化式を満たすわけですから、
A(n+1)=2A(n)+n
B(n+1)=2B(n)+nの両辺を引いて
A(n+1)-B(n+1)=2(A(n)-B(n))という等比数列が成り立つので、

A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1   となると思うのですが、

ここから質問です。
なぜ最初の漸化式を満たした、B(n)=-n-1 と これまた漸化式を満たしている、A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 が異なっているのでしょうか?


回答お願いいたします。

Aベストアンサー

漸化式を、別名、差分方程式と言いますが、
方程式が複数の解を持つことなど
珍しくもないハズです。
x~2=1 ⇔ x=±1 だって、そうです。

実際、質問の漸化式は、2 個どころではなく、
無数の解を持ちます。
任意の定数 C に対して、
A[n] = C*(2 の n-1 乗) -n-1
が解になります。

漸化式に、初期条件 A[1] = 1 を添えると、
初期値問題の解は、ひとつに定まります。
このとき、C = 3 が限定され、
C = 0 の場合にあたる B[n] はJ
解でなくなります。

Q数学Aで質問です。 赤玉5個と白玉7個の入った袋から、4個の玉を同時に取り出すとき、その中に赤玉が3

数学Aで質問です。

赤玉5個と白玉7個の入った袋から、4個の玉を同時に取り出すとき、その中に赤玉が3個以上含まれる確率を求めよ。

の式がわかりません。
教えてください。

Aベストアンサー

赤3白1
5c3・7C1=5・4・7/2=70
赤4白0
5C4=5
よって
(70+5)/(5+7)C4=75/(12・11・10・9/4・3・2)=(5・5・3)/(11・5・3・3)=5/33

Q漸化式(隣接2項間)・a_n+1=pa_n+q

漸化式(隣接2項間)の問題・a_n+1=pa_n+q

隣接2項間の漸化式の問題で
例)α=-1より、a_(n+1)+1=3(a_n+1)
これがなぜ「数列(a_n+1)が、初項a_1+1=2,公比3の等比数列であることを表している」のでしょうか?
どなたかわかりやすくお願いします。

Aベストアンサー

公比

右辺(a_n+1)を3倍したら左辺になる、というのはOKですよね。
左辺は右辺の次の項をあらわしているんです。
数列で第n項の次の項を第n+1項っておくでしょ?
だから漸化式において、(a_n+1)の3倍は3(a_n+1 + 1)なんです。


初項

適当に、n=99とすると、この漸化式は第100項と第99項の関係をあらわしていることになります。
次にn=98とすると、この漸化式は第99項と第98項の関係をあらわしていることになります。
このようにnを繰り下げていくと、最終的にはn=1となり、第2項と第1項の関係をあらわしていることになりますよね。
そしてこのときの右辺が、初項です。
だから初項はa_1 + 1なんです。

と、ここまで書いて思ったんですが、もとのa_n=・・・っていう式が与えられてないので、ここから先は進めません。

でもまあ、a_n=・・・の初項が1だとしますね。そうするとa_1 + 1= 1+1=2となり、ご質問の初項は2になるんです。

Q条件付き確率の問題です。 赤玉7個、白玉3個が入った袋の中から、先ず2個を取り出し、元に戻さず続け

条件付き確率の問題です。

赤玉7個、白玉3個が入った袋の中から、先ず2個を取り出し、元に戻さず続けて1個取り出す時の、次の確率を求めなさい。

初めの2個がともに赤であった時、次の1個が白である確率。

C(コンビネーション)を使ったやり方で解説されているのですが、なぜコンビネーションなのかわかりません(^_^;)

解答は8C1分の3C1となっています。

Aベストアンサー

どうせ 1個しか取り出さないんだから, コンビネーションでもパーミュテーションでも同じことだよね.

Q漸化式の特性方程式

いくつか質問があります。わかるものだけでもいいので回答よろしくお願いします。

・「特性方程式」の解釈は、「特性を表す方程式」で合ってますか?
・なぜa_(n+1)=3a_n+2の特性方程式がc=3c+2なのですか?
・なぜ2a_(n+2)=3a_(n+1)-a_nの特性方程式が2x^2=3x-1なのですか?
・なぜ特性方程式の解である平衡値を漸化式の両辺から引けば、二項漸化式を等比数列型に変形できるのですか?

Aベストアンサー

なぜ、a(n+1) = 3 a(n) + 2 の特性方程式が c = 3c + 2 なのか、そして、なぜ、特性方程式の解である平衡値を漸化式の両辺から引けば、二項漸化式を等比数列型に変形できるのか・・・。ご質問の順番が実は全て逆のような気がします。つまり、漸化式を等比数列型に変形するために作られたのが特性方程式であり、そういう方程式を作ってみたらそれが c = 3c + 2 だったということです。そのあたりが分かっていますと、その特性方程式の解(平衡値)を引くと等比数列型になるのは当然のことです。
一般的に、
a(n+1) = p a(n) + q ・・・(1)
という漸化式が与えられたとき、これを
a(n+1) - α = β ( a(n) - α ) ・・・(2)
という等比数列に変形することができれば、a(n) の一般項を求める事ができますね。この α, β を求めたい、というところが出発点です。
(2) を展開すると、
a(n+1)= β a(n) - αβ + α
これを (1) と比べれば、
β = p
- αβ + α = q
ですから、α は、- px + x = q ( ⇔ x = px + q )という方程式の解であることが分かります。こうして作られた方程式が、質問者さんがおっしゃる特性方程式です。ですから、この方程式の解を漸化式の両辺から引けば、それが等比数列型になるのは当たり前ですよね。α が平衡値であることは、(1)という漸化式で与えられる数列を平衡値だけ平行移動したものが等比数列になるということであって、ことさら重大な意味は無いように思われます(私が良く知らないだけかもしれませんが)。実際に、他の形の漸化式であれば、その特性方程式の解は平衡値でも何でもありませんので。

2a_(n+2)=3a_(n+1)-a_n の方ですが、こちらは、
p a(n+2) = q a(n+1) + r a(n) ・・・ (3)
という形の漸化式を
a(n+2) - α a(n+1) = β (a(n+1) - α a(n)) ・・・(4)
の形に変形して、一般項 a(n) を求めようとするところが出発点となります。
やはり、(4) を展開して (3) と比べると
a(n+2) = (α + β) a(n+1) - αβ a(n)
a(n+2) = (q/p) a(n+1) + (r/p) a(n)
が同じ数列ですから、
α + β = q/p
-αβ = r/p
より、αとβは p x^2 - q x - r = 0 ( ⇔ p x^2 = qx + r )の解であることが分かります。このようにして作られたのが特性方程式です。
二項漸化式のときは単なる1次方程式(平衡値を求める方程式)だったのに、こいつは似て異なるものですね。

以上まとめますと、特性方程式というものが、漸化式を等比数列型に変形するための定数を求めるために作り出された方程式なのであって、ですから、その解を使って等比数列型に変形できるのは当然ですし、何故特性方程式がそのような形をしているのかは、上述した通りです。

なぜ、a(n+1) = 3 a(n) + 2 の特性方程式が c = 3c + 2 なのか、そして、なぜ、特性方程式の解である平衡値を漸化式の両辺から引けば、二項漸化式を等比数列型に変形できるのか・・・。ご質問の順番が実は全て逆のような気がします。つまり、漸化式を等比数列型に変形するために作られたのが特性方程式であり、そういう方程式を作ってみたらそれが c = 3c + 2 だったということです。そのあたりが分かっていますと、その特性方程式の解(平衡値)を引くと等比数列型になるのは当然のことです。
一般的に、
a(n+1...続きを読む

Q高校の数Aで分からない問題があります。 「赤玉4個、白玉3個、青玉1個があります。この中から4個とり

高校の数Aで分からない問題があります。
「赤玉4個、白玉3個、青玉1個があります。この中から4個とりだす順列を求めなさい」
CかPを使って教えて下さい

Aベストアンサー

赤4 4P4/4P4 = 1
赤3 白1 4P4/(3P3 x 1P1) = 4
赤3 青1 4P4/(3P3 x 1P1) = 4
赤2 白2 4P4/(2P2 x 2P2) = 6
赤2 白1 青1 4P4/(2P2 x 1P1 x 1P1) = 12
赤1 白3 4P4/(1P1 x 3P3) = 4
赤1 白2 青1 4P4/(1P1 x 2P2 x 1P1) = 12
白3 青1 4P4/(3P3 x 1P1) = 4
よって、これらを足すと
1+4+4+6+12+4+12+4 = 47通り。

Q分数漸化式で特性方程式が重解を持つ場合の途中計算についてです。

分数漸化式の途中計算で行き詰って困っています。
よろしくお願いします。

分数漸化式
x[n+1]=(a(xn)+b)/(c(xn)+d)において

分数漸化式の特性方程式
k=(ak+b)/(ck+d)
が重解αを持つ時

(ck+d)^2/(ad-bc)=1

となり
1/(xn-α)が等差数列になる。

みたいなのですが

途中式「(ck+d)^2/(ad-bc)=1」が証明できずに困っています。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>>(ck+d)^2=(ad-bc) は、どう使うかは判りません。

^^^^^^^  
>> x(n+1)={(a(xn)+b)/(c(xn)+d)}・・・<1>

   k=(ak+b)/(ck+d)
   k(ck+d)=(ak+b)

   c(k^2)-(a-d)k-b=0 →(a-d)^2=-4bc・・・<2>
   4(c^2)(k^2)-4c(a-d)-4bc=0
   4(c^2)(k^2)-4c(a-d)+(a-d)^2=0
   { 2ck-(a-d)}^2=0

   特性解kはk={(a-d)/2c}・・・・・・<3>

<1>を変形して、

   x(n+1)-k={(a(xn)+b)/(c(xn)+d)}-k
   x(n+1)-k={(a(xn)+b)-kc(xn)-kd)}/(c(xn)+d)
   x(n+1)-k={(a-kc)(xn)-(kd-b)}/(c(xn)+d)

(a-kc)=a-{c(a-d)/2c}
=a-{(a-d)/2}
={2a-a+d}/2
=(a+d)/2・・・<4>

(kd-b)={d(a-d)-2bc)}/2c
={ad-(d^2)-2bc)}/2c
     ={2ad-2(d^2)-4bc)}/4c
     ={2ad-2(d^2)+(a^2)-2ad+(d^2)}/4c
     ={(a^2)-(d^2)}/4c
       ={(a+d)/2}{(a-d)/2c}・・・<5>

    c(xn)+d=c[(xn)-{(a-d)/2c}+{(a-d)/2c}]+d
         =c[(xn)-{(a-d)/2c}]+{(a-d)/2}+d
         =c[(xn)-{(a-d)/2c}]+{(a+d)/2}

x(n+1)-{(a-d)/2c}
 =[ {(a+d)/2}[(xn)-{(a-d)/2c}] ]/[ c[(xn)-{(a-d)/2c}]+{(a+d)/2}]

  (xn)-{(a-d)/2c}=(yn)と置き換えて、

y(n+1)={(a+d)/2}(yn)/{ c(yn)+{(a+d)/2} }

特性解と初項は異なるとして、(yn)≠0。また、(a+d)≠0として。

   1/{y(n+1)}={2/(a+d)}{ c(yn)+{(a+d)/2} }/(yn)
   1/{y(n+1)}={2c/(a+d)}+1/(yn)

>>(ck+d)^2=(ad-bc) は、どう使うかは判りません。

^^^^^^^  
>> x(n+1)={(a(xn)+b)/(c(xn)+d)}・・・<1>

   k=(ak+b)/(ck+d)
   k(ck+d)=(ak+b)

   c(k^2)-(a-d)k-b=0 →(a-d)^2=-4bc・・・<2>
   4(c^2)(k^2)-4c(a-d)-4bc=0
   4(c^2)(k^2)-4c(a-d)+(a-d)^2=0
   { 2ck-(a-d)}^2=0

   特性解kはk={(a-d)/2c}・・・・・・<3>

<1>を変形して、

   x(n+1)-k={(a(xn)+b)/(c(xn)+d)}-k
   x(n+1)-k={(a(xn)+b)-kc(xn)-kd)}/(c(xn)+d)
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Q赤玉1個と白玉3個から、2個の玉を取りだす場合、その根元事象はどのよう

赤玉1個と白玉3個から、2個の玉を取りだす場合、その根元事象はどのようになるでしょうか?
根元事象の意味はわかるのですが、この場合どのようになるかわからなくて…
わかる方お願いします。

Aベストアンサー

>根元事象の意味はわかるのですが、この場合どのようになるかわからなくて…
根元事象の意味は、場合により異なることはありません。

取り出す順番を考えず、
赤、白の色だけに注目すれば、{赤、白}、{白、白}は根元事象。
ただ、これらの根元事象の起きる確率は等しくない。

白3個を区別して、白1、白2、白3 と考えれば、
{赤、白1}{赤、白2}{赤、白3}{白1、白2}{白1、白3}{白2、白3}
これらも根元事象です。

どのような事象を考えるのかによって、根元事象は異なります。


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