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問題

箱A,Bのそれぞれに赤玉1個白玉3個合計4個ずつ入っている。一回の試行で
箱A、Bの箱から無造作に1個ずつ選び交換する。この試行をn回繰り返した後、
箱Aに赤1個白3個入っている確率Pnを求めよ。

という問題がありました。
〔解答〕、
試行をn回繰り返した後→n+1回後への箱Aの変化の様子から
漸化式をつくる。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
疑問1
なぜ、n回からn+1回への状況変化なのでしょうか?
n回目のときにAに赤1白3はいっている確率なのだから、
やるとしたら、n-1回目からn回目の情況変化だとおもうのですが・・・・
n回目のときにAに赤1白3なのにn+1回めのときを考えているのはなぜでしょう?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

試行をn回繰り返した後の箱Aに入っている玉は
赤1 白3
赤0 白4
赤2 白2
の3通りでそれぞれの情況である確率をPn、Qn、Rnとおく。

1回の試行で箱Aに入っている玉が
(1)赤1 白3から赤1 白3になる確率は5/8
(2)赤0 白4から赤1 白3になる確率は1/2
(3)赤2 白2から赤1 白3になる確率は1/2
これらは排反であるので

Pn+1=Pn×5/8+Qn×1/2+Rn×1/2

Pn+1=1/8Pn+1/2
この漸化式は
Pn+1-4/7=1/8(Pn-4/7)

なのでPnのn=0のときは1なので
Pn=4/7+3/7(1/8)^n・・・答え
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
疑問2
なぜ、n=1の時ではなくn=0のときなんでしょうか?
試行がおこなわれず、0回のときもあるからで、n≧1ではなく
n≧0からですか?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

A 回答 (3件)

疑問1:


n 回から n+1 回への状況変化を考えても、
n-1 回目から n 回目の情況変化を考えても、全く同様に解くことができます。

貴方が思うように漸化式を立てて、できた式と解答例の式を比べてみましょう。
正しく立式できていれば、n = m-1 で置き換えれば、同じ式になります。
悩む前に、解いてみたほうが早い。

疑問2:
試行を n 回繰り返した後に箱Aに赤1個白3個入っている確率Pnを考えても、
n 回目の試行を行う前に箱Aに赤1個白3個入っている確率Snを考えても、
問題を解くことはできます。(Snで解くと、最後にPnに翻訳することになるが。)
だから、「0 回のときもあるから、n≧1 ではなく n≧0 から」という考えには
意味がありません。Sn で解くときには、n≧1 になるのですから。

最初の n を何にするかは、初期条件の n を何にするかによって決まります。
解答例では、試行を行う前に箱Aに赤1個白3個入っている確率を 1 と求めて、
それを P0 としているのですから、最初の n は 0 になるのです。
試行を行う前に箱Aに赤1個白3個入っている確率 1 を S1 と置けば、
最初の n は 1 になります。
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この回答へのお礼

なるほど~~よっく理解できましたよ。
わかっているようでわかっていない数列の根本的な部分も理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時:2011/04/11 15:52

P(1)=5/8だから Pn=4/7 + 3/56 × (1/8)^(nー1)


だからどっちでやっても同じになるので
どっちでも正しいとおもいます
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
それでもできるのですね。
私はぱっと、P(!)の方が浮かんでしまったので、
それでもできると聞いて安心しました。

お礼日時:2011/04/11 15:53

nからn+1 でもn-1からnでもどっちでもいいと思いますよ



n=0の時は赤1、白3だから確率1でいいんですよ
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
どちらでもよいのですね。
実際にやってみたいと思います。

お礼日時:2011/04/11 15:53

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Q数学の確率と漸化式を融合した問題です

解き方が全くわからないので教えてください
問題は
さいころをn回投げたとき5の目が偶数回出る確率をPnとする。ただし5の目が1回もでなかった場合は偶数回出たと考えることにする。
(1)P1(これはn=1ということです)を求めよ
(2)Pn+1をPnで表せ
(3)Pnを求めよ
どうか解き方と答えをよろしくお願いします

Aベストアンサー

#1の者です。
当然、(2)が一番の肝なので…
もうちょっとだけ、ヒントを(言い換えレベルですが)

(a)に対して、n+1回目はどのような目が出れば偶数回になりますか?
(b)に対して、n+1回目はどのような目が出れば偶数回になりますか?

という確率を計算します。


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