漸化式と確率の問題で・・・・

問題

箱Ａ，Ｂのそれぞれに赤玉１個白玉３個合計４個ずつ入っている。一回の試行で
箱Ａ、Ｂの箱から無造作に１個ずつ選び交換する。この試行をｎ回繰り返した後、
箱Ａに赤１個白３個入っている確率Ｐnを求めよ。

という問題がありました。
〔解答〕、
試行をn回繰り返した後→n＋１回後への箱Aの変化の様子から
漸化式をつくる。
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疑問１
なぜ、ｎ回からｎ＋１回への状況変化なのでしょうか？
ｎ回目のときにＡに赤１白３はいっている確率なのだから、
やるとしたら、ｎ－１回目からｎ回目の情況変化だとおもうのですが・・・・
ｎ回目のときにＡに赤１白３なのにｎ＋１回めのときを考えているのはなぜでしょう？
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試行をｎ回繰り返した後の箱Ａに入っている玉は
赤１　白３
赤０　白４
赤２　白２
の３通りでそれぞれの情況である確率をＰｎ、Ｑｎ、Rnとおく。

１回の試行で箱Aに入っている玉が
(1)赤１　白３から赤１　白３になる確率は５/８
(2)赤０　白４から赤１　白３になる確率は１/２
(3)赤２　白２から赤１　白３になる確率は１/２
これらは排反であるので

Pｎ＋１＝Ｐｎ×５/8＋Ｑｎ×１/２＋Ｒｎ×１/２

Ｐｎ＋１＝１/８Ｐｎ＋１/２
この漸化式は
Ｐｎ＋１－４/７＝１/８（Ｐｎ－４/７）

なのでＰｎのｎ＝０のときは１なので
Ｐｎ＝４/７＋３/７（１/８）＾ｎ・・・答え
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疑問２
なぜ、ｎ＝１の時ではなくn=0のときなんでしょうか？
試行がおこなわれず、０回のときもあるからで、ｎ≧１ではなく
n≧０からですか？
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No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2011/04/10 21:18

疑問１：

n 回から n+1 回への状況変化を考えても、
n-1 回目から n 回目の情況変化を考えても、全く同様に解くことができます。

貴方が思うように漸化式を立てて、できた式と解答例の式を比べてみましょう。
正しく立式できていれば、n = m-1 で置き換えれば、同じ式になります。
悩む前に、解いてみたほうが早い。

疑問２：
試行を n 回繰り返した後に箱Ａに赤１個白３個入っている確率Ｐnを考えても、
n 回目の試行を行う前に箱Ａに赤１個白３個入っている確率Ｓnを考えても、
問題を解くことはできます。(Ｓnで解くと、最後にＰnに翻訳することになるが。)
だから、「0 回のときもあるから、n≧1 ではなく n≧0 から」という考えには
意味がありません。Ｓn で解くときには、n≧1 になるのですから。

最初の n を何にするかは、初期条件の n を何にするかによって決まります。
解答例では、試行を行う前に箱Ａに赤１個白３個入っている確率を 1 と求めて、
それを Ｐ0 としているのですから、最初の n は 0 になるのです。
試行を行う前に箱Ａに赤１個白３個入っている確率 1 を Ｓ1 と置けば、
最初の n は 1 になります。

この回答へのお礼

なるほど～～よっく理解できましたよ。
わかっているようでわかっていない数列の根本的な部分も理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2011/04/11 15:52

No.2 回答者： sayumi0570 回答日時： 2011/04/10 17:47

Ｐ（１）＝５/8だから　Ｐｎ＝４/7 +　３/56　×　(１/8)＾（ｎー１）

だからどっちでやっても同じになるので
どっちでも正しいとおもいます

この回答へのお礼

ありがとうございます。
それでもできるのですね。
私はぱっと、P(!)の方が浮かんでしまったので、
それでもできると聞いて安心しました。

お礼日時：2011/04/11 15:53

No.1 回答者： sayumi0570 回答日時： 2011/04/10 17:41

nからｎ＋１　でもｎ－１からｎでもどっちでもいいと思いますよ

ｎ＝０の時は赤１、白３だから確率１でいいんですよ

この回答へのお礼

ありがとうございます。
どちらでもよいのですね。
実際にやってみたいと思います。

お礼日時：2011/04/11 15:53