物体を静かに落とした時、地面を基準としたら、落とす直前の運動エネルギーは0,位置エネルギーは最大になり、物体が地面に着いた時、運動エネルギーは最大,位置エネルギーは0になると思います。
では、物体が地面に着いた後のエネルギーはどうなるのでしょうか?
運動エネルギーは速さの2乗に比例しているみたいなので、速さが0になると運動エネルギーも0になるはずです。
しかし、力学的エネルギー保存の法則から運動エネルギーが0になったら位置エネルギーは最大になると思うので、再び運動エネルギーは0,位置エネルギーは最大になるのでしょうか?

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A 回答 (4件)

物体が地面に着いたとき、 跳ね返り係数 0≦e≦1 で跳ね返ると思います。


e=0 のとき、完全非弾性衝突で物体の跳ね返り速度は 0 になります。
e=1 のとき、完全弾性衝突で、物体ははじめに落とした高さまで跳ね返ります。

e=1 の場合のみ、物体は同じ高さまで跳ね返ります。
地面に着いた瞬間、初速度が反対方向に同じ大きさになるので、運動エネルギーは変わりません。
この場合、永遠に同じ高さまで跳ね返りを繰り返すでしょう。
すなわち、力学的エネルギーは保存します。

0≦e<1 の場合は、地面との接触で、摩擦が発生し、跳ね返りの初速度は、摩擦力による熱エネルギーなどに変換されて小さくなります。
この場合、何度も、跳ね返りを繰り返し、最終的には速度は 0 になります。
そのたびに、摩擦による熱エネルギーなどに変換されます。

結局は、一番初めに持っていた位置エネルギーは摩擦力による熱エネルギーなどに変換されて、運動エネルギーは 0 になります。
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この回答へのお礼

なるほど、跳ね返り係数が1以外の時は力学的エネルギーが他のエネルギーに変換されるのですね。
回答有難うございました。

お礼日時:2011/04/16 01:08

地面に着いてから後の物体の状態がどういうものであるかによって変わります。



>速さが0になると運動エネルギーも0になるはずです。

地面に着いた時に「速度が0になる」ということはどういうことを想定していますか。
そのまま止まってしまうということでしょうか。一時的に0になった後、跳ね返るということでしょうか。
どちらも日常では経験しているはずです。
止まってしまえば「運動エネルギー=0」です。位置エネルギーも0です。

エネルギー保存則と力学エネルギー保存則とは意味が異なります。
力学的エネルギー以外のエネルギーへの移り変わりがある時は力学的エネルギーは保存しません。
力学的エネルギー以外へのエネルギーの移動が禁止されていればどうなるでしょう。
同じ速さで跳ね返るということが起こるはずだということになります。
どういう条件を整えればそういうことが起こるのかは別の問題です。
往復運動をしている振り子の運動は衝突でエネルギーを失わないように工夫されたものです。位置エネルギー⇔運動エネルギーの入れ変わりが何回も起こる現象です。バネの振動も同じような運動です。

ボールを地面に落とせば跳ね返ります。
でも大抵は元の高さよりもかなり低ところまでしか上がりません。
地面との衝突で力学的エネルギーがいくらか失われています。でも一度に0になるわけではありません。
失われた部分のエネルギーはボールが飛ぶこと以外に関係するエネルギーに移っています。
ボールの変形、地面の変形、接触時の摩擦等に使われています。
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この回答へのお礼

衝突したら力学的エネルギーが奪われるのですね。
回答有難うございました。

お礼日時:2011/04/16 01:01

地面にぶつかった時点で物体に垂直抗力という外力が働くので、エネルギー保存則はなりたちません。

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この回答へのお礼

なるほど、地面と接触した時に別の力も働くのですか。気付きませんでした。
回答有難うございました。

お礼日時:2011/04/15 16:17

もちろん地面に着いた後も物体の運動エネルギー最大なので、物体ははね返ることになります。


はね返った後は物体を落下させた高さまで跳ね上がって、位置エネルギーが最大、運動エネルギーが0になったあと、また落下します。これのくり返しです。

物体の落下と跳ね上がりの間、一瞬だけ物体の速度が0になる瞬間がありますが、このときエネルギーは地面と物体の間の(弾性)位置エネルギーとして蓄えられてると考えていいと思います。これはばねによってたくわえられる位置エネルギーと同じようなものです。
つまり、地面にぶつかる瞬間は運動エネルギーも重力による位置エネルギーも0ですが、その弾性位置エネルギーによってエネルギーが蓄えられているということです。
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この回答へのお礼

>もちろん地面に着いた後も物体の運動エネルギー最大なので、物体ははね返ることになります。

あ、そうか。地面に当たったら物体は跳ね返るのか。
跳ね返る事まで考えてませんでした。

>物体の落下と跳ね上がりの間、一瞬だけ物体の速度が0になる瞬間がありますが、
>このときエネルギーは地面と物体の間の(弾性)位置エネルギーとして蓄えられてると考えていいと思います。

なるほど、跳ね返る瞬間で運動エネルギーが0になった時は、重力ではなく弾性の位置エネルギーにエネルギーが蓄えられるのですね。

回答有難うございました。

お礼日時:2011/04/15 16:13

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では、物体が地面に着いた後のエネルギーはどうなるのでしょうか?
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Aベストアンサー

物体が地面に着いたとき、 跳ね返り係数 0≦e≦1 で跳ね返ると思います。
e=0 のとき、完全非弾性衝突で物体の跳ね返り速度は 0 になります。
e=1 のとき、完全弾性衝突で、物体ははじめに落とした高さまで跳ね返ります。

e=1 の場合のみ、物体は同じ高さまで跳ね返ります。
地面に着いた瞬間、初速度が反対方向に同じ大きさになるので、運動エネルギーは変わりません。
この場合、永遠に同じ高さまで跳ね返りを繰り返すでしょう。
すなわち、力学的エネルギーは保存します。

0≦e<1 の場合は、地面との接触で、摩擦が発生し、跳ね返りの初速度は、摩擦力による熱エネルギーなどに変換されて小さくなります。
この場合、何度も、跳ね返りを繰り返し、最終的には速度は 0 になります。
そのたびに、摩擦による熱エネルギーなどに変換されます。

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2物体の場合での方針を確認しておきますから文字の意味、式の表現等を改めて確かめてやり直してみて下さい。

(1)2つの物体を区別して表現する。(1,2とかA、Bとかで)
(2)質量、速度の文字を決める。
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(4)重心に対する相対速度の表現を求める。
(5)はじめの速度で表した運動エネルギーの和(K)、重心に対する相対速度で表した運動エネルギーの和(K’)の表現を求める。
(6)重心の運動エネルギー(KG)の表現を求める。
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(7)K=KG+K’を変形で導く。
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(7)の質量で間違っていませんか。
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>二個の質点に対してK=KG+K´を証明するときどうすればよいのですか?

ここでの式は次の内容を表しているのですね。文字で表すときは言葉の説明も添えてもらうと分かりやすいです。

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Qベルヌーイの定理とは、速度や圧力は変化するが位置エネルギー、運動エネルギー、圧力エネルギーは、変化し

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Q運動エネルギーについての問題

授業で出された課題でわからないものがあったので、教えてください。

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どうして、(1)の運動エネルギー+(2)の運動エネルギー=(3)の運動エネルギーとはならないのか?」
という問題がわからなかったので教えてください。お願いします。

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こんにちは。
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ここでは、別の観点から説明します。

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  (投げる前のボールの運動エネルギー)+(投げる間にボールに対して行った仕事の量)…(**)

上の関係は一般的に成り立つものですが、もう習いましたか? 
これに基づいて、問題を考えてみましょう。

No2と同じく、
 電車の速さを V とし、
 投げた後の電車に対するボールの速さを v とします。

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 (投げた後のボールの運動エネルギー)=これがあなたの(3)の運動エネルギーです。
 (投げる前のボールの運動エネルギー)=1/2 mV^2=これがあなたの(2)の運動エネルギーです。
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  F×Da=F×Db+F×(ボールに力を加えている間に電車が動いた距離)

さて、電車中の観測者の立場で上の(**)の関係を考えると、
  F×Db=1/2 mv^2=((1)の運動エネルギー)
が得られます。これを上の式に代入すると、
  F×Da=((1)の運動エネルギー)+F×(ボールに力を加えている間に電車が動いた距離)

以上の式を(**)の式に代入すると、

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 ((2)の運動エネルギー)+((1)の運動エネルギー)+F×(ボールに力を加えている間に電車が動いた距離)

となります。
F×(ボールに力を加えている間に電車が動いた距離)の分だけ、違いが生じるということです。
ちなみに、この値は、上の回答No2の「+ mvV」と等しいのです。

こんにちは。
No2で回答した者です。
ここでは、別の観点から説明します。

  (投げた後のボールの運動エネルギー)=
  (投げる前のボールの運動エネルギー)+(投げる間にボールに対して行った仕事の量)…(**)

上の関係は一般的に成り立つものですが、もう習いましたか? 
これに基づいて、問題を考えてみましょう。

No2と同じく、
 電車の速さを V とし、
 投げた後の電車に対するボールの速さを v とします。

さて、この変化をどの観測者の立場で考えるのか、を明...続きを読む

Q位置エネルギー 運動エネルギー

10円玉を1m上から水平な床面に垂直に落としたとしたらそのエネルギーはどうなりますか。どの範囲まで転がる力がありますか。

Aベストアンサー

高さh(m)の場所から自由落下した物体が地面にぶつかるまでの時間をt(s)とすると、h=a・t^2/2という式が成り立ち、
(aは重力加速度 -> 9.8m/s^2と仮定)高さは1mなので、1=9.8・t^2/2で、t≒0.45。
地面に衝突時の速度は0.45・9.8=4.41m/sで、時速約16km/h 位になります。

これから後の計算はちょっと分かりません。
床面の固さ(衝撃をどれだけ吸収するか)や床の素材等(摩擦)でころがる距離は変わりますし、計算上では力が真下に加わった場合ころがらない事になります。しかし現実は床面は完全な平面でないためどちらかに転がる事になります。
と言う事でこれらの場合は実際にやって見るのが一番てっとり早いと思います。ちなみに私が絨毯の上でやってみたら一度上に跳ね返ってから落下点より12cm右側で止まりました。

Q運動エネルギーと運動量の矛盾

運動エネルギーは速度の2乗に比例します。2倍の速度に加速させるには4倍のエネルギーが必要と言うことです。
それに対し運動量は速度に比例します。2倍の速度に加速させるには2倍の力積が必要と言うことです。
では、質量1で速度1の物体Aと質量2で速度1の物体Bがあります。与えた運動エネルギーはAは1とBは2で合わせて3になります。運動量はAは1、Bは2です。AとBを衝突させます。すると、力積が伝わってBは止まり、Aは2の速度で跳ね返されます。この時の運動エネルギーはBは0ですが、Aは4になっています。最初与えたエネルギーは3ですが、衝突後のエネルギーは4になり増えたわけです。運動エネルギーをエネルギーとして取り出せれば、入力より出力が上回るおかしな結果となります。
これが運動エネルギーと運動量が別物とすることで起こる矛盾です。
この説明でおかしな所はありますか?

Aベストアンサー

No.4の補足について考察してみました。

ha5050 の説の根底には 同じ重さの A と B が速度 v, -v でぶつかると
速度が反転して -v, v になるのだから、Bを重くすれば、Aの衝突後の
速度の絶対値はは |-v| より大きくなるだろう ということみたいですね。

ここまでは正しいのですが、ha5050 の説ではこれを無根拠に「2倍」に
しています。しかしこれでは運動エネルギーが過剰になってしまいますし、
運動量保存則(作用反作用の法則)も満足していません。
つまりニュートン力学を無視した直感による結論にすぎません。

実際には、運動量保存則が成り立ち、衝突によるエネルギー損失が無いと仮定して
計算します。


運動量保存即
m・v - 2・m・v = va・m + 2・vb・m (va, vb は衝突後の A, B, の速度)
⇒ -v = va + 2・vb

(1/2)・m・v^2 + m・v^2 =(1/2)・m・va^2 + m・vb^2
⇒ 3・v^2 = va^2 + vb^2

これを解くと va = -(5/3)・v, vb = (1/3)・v

となります。つまり B は止まらず 1/3 の速度で跳ね返されます。
また A は2倍より少し少ない 1.666666 倍の速度ではねかえされる
ことになります。この時運動量保存則とエネルギー保存則の両方が
成り立ちます。

No.4の補足について考察してみました。

ha5050 の説の根底には 同じ重さの A と B が速度 v, -v でぶつかると
速度が反転して -v, v になるのだから、Bを重くすれば、Aの衝突後の
速度の絶対値はは |-v| より大きくなるだろう ということみたいですね。

ここまでは正しいのですが、ha5050 の説ではこれを無根拠に「2倍」に
しています。しかしこれでは運動エネルギーが過剰になってしまいますし、
運動量保存則(作用反作用の法則)も満足していません。
つまりニュートン力学を無視した直感による結論にすぎませ...続きを読む

Q人工衛星の運動エネルギーと位置エネルギー

こんにちわ

「地球の周りの円軌道上を回る人工衛星がある。その運動エネルギーTと無限遠を基準とした位置エネルギーTとの間には2T=-Uの関係」があるそうです。
これを証明するにはどうしたらいいのでしょう。

それと、手元に物理のテキストなどが無いため「無限遠を基準とする」という言葉自体分からないのですが、そのような言葉について解説してあるページなどありましたら、ご教授よろしくお願いします。

Aベストアンサー

今の話ですと,地球の中心からの距離を rとして,
ポテンシャル U(r) は力 F(r) と
(1)  F(r) = - dU(r)/dr
となるように定義されています.
力 F(r) の大きさは GMm/r^2 ですが,
これは引力ですから r 方向(中心から外向き)と逆方向を向いています
(Gは万有引力定数,M は地球の質量,m は人工衛星の質量).
したがって
(2)  F(r) = - GMm/r^2
と考えてください.
(1)(2)を比べると(あるいは積分して)
(3)  U(r) = -GMm/r + (定数)
となることがわかりますが,「無限遠を基準とする」というのは
(4)  U(∞) = 0
となるように選ぶということです.
すなわち(3)の定数はゼロにしなさいということになります.

あとは ADEMU さんご紹介のページにもありますように
遠心力と引力の釣り合いから
(5)  mv^2/r = GMm/r^2
で,両辺に r/2 を掛けると,左辺は
(6)  mv^2/2 = T
右辺は
(7)  GMm/2r = -U/2
になりますから,直ちに
(8)  2T = -U
が得られます.

この関係式は力学でビリアル定理と言われるものの特別な場合になっています.
(8)の係数の2や -1 はどのような系かによって変わります.
調和振動子(ばね+おもりの運動)で,1周期の運動エネルギーの平均値と
ポテンシャルエネルギーの平均値が等しくなっていますが(<T> = <U>),
それもビリアル定理の一例です.

今の話ですと,地球の中心からの距離を rとして,
ポテンシャル U(r) は力 F(r) と
(1)  F(r) = - dU(r)/dr
となるように定義されています.
力 F(r) の大きさは GMm/r^2 ですが,
これは引力ですから r 方向(中心から外向き)と逆方向を向いています
(Gは万有引力定数,M は地球の質量,m は人工衛星の質量).
したがって
(2)  F(r) = - GMm/r^2
と考えてください.
(1)(2)を比べると(あるいは積分して)
(3)  U(r) = -GMm/r + (定数)
となることがわかりますが,「無限遠を基準とする」という...続きを読む

Q運動エネルギーと力

運動エネルギーと力の概念の違いが知りたいです。
もちろん公式が違うのはわかるのですが。

運動エネルギーをもつということは力があるということですよね?
物体Aに力がくわわるというとは物体Aは運動エネルギーをもつようになる。

この表現ってあっていますか?

Aベストアンサー

> 運動エネルギーをもつということは力があるということですよね?
> 物体Aに力がくわわるというとは物体Aは運動エネルギーをもつようになる。

答えは「そうではない」のですが、どこが違うのかが知りたいのですよね。
以下に自分なりの説明を試みてみます。

たとえて言うならば
お金持ち=口座残高が多い=金を使いまくる
みたいな等式が成り立ちそうに思ってしまうけれども実際はそうではない、というようなものです。

「運動エネルギー(K)」と「力(F)」は両方とも「運動量(p)」に関係があるのですが、この3つは別のものです。
つまり K と p の間には関係があり、p と F の間にも関係があるのですが、
もちろん K と p は違うものだし、p と F も違うものです。

関係があるけど違うもの、という例は、たくさんあります。
物理の範囲に限ってみても「熱と温度」「電流と電圧と電力」などの例があるし、
円の面積と円周の長さとか、会社の資産と収入や支出とかもそうです。

> 運動エネルギーをもつということは力があるということですよね?
まず「力がある」というのが物理の概念としてはおかしいです。
力というのは「受ける」ものであって「ある(持つ)」ものではありません。
力Fを受けるとは、時間Δtのあいだに運動量pΔtをもらうことを言います。
言わば「寄付を受ける」「年金を受ける」と同じ意味で「力を受ける」と言っているわけです。

もしこれが
「運動エネルギーをもつということは運動量をもつということですよね?」
だったら、それ自体は正しいと言えます。
もちろん「運動エネルギー」と「運動量」が同じという意味ではありません。
運動量はベクトルであるのに対し、運動エネルギーはスカラーであって、性格が根本的に異なるのですから。
しかし「運動エネルギーは運動量の大きさで決まる」ということは言えます。
三角定規の面積は(形が相似なら)底辺の長さで決まる、というのと同じです。

他方、運動量と力の関係は、口座残高と口座取り引きの関係にたとえられます。
さきほどの「年金を受ける」を例に考えてみましょうか。
仮に1年あたり100万円の年金を受けて、それを何にも使わず貯めておいたとすると、
5年たてば500万円の貯金ができるでしょうか?
答えは必ずしもそうとは限りません。
最初に200万円の借金があったら300万円しか貯金できないわけですから。

力というのはこれと似ていて、力を受けると運動量が必ず増えるかというと、そうとも言えません。
もう少し物理的に言うと「力や運動量には向きがある」という点を考慮する必要があります。
大きな慣性をもって東向きに進んでいる物体に、西向きの力を加えたら、
その力はブレーキとして働くわけですから、運動量の大きさはゼロに向かいます。
(もちろん長時間にわたって力を加えつづけたら話は別で、西向きの運動量を生じます。)

このことと、上に書いたこととをあわせて考えると、
> 物体Aに力がくわわるというとは物体Aは運動エネルギーをもつようになる。
とは言えないことが分かります。
力がブレーキとして働く(運動量の大きさを減らす)なら、物体は運動エネルギーを失うわけだし、
また物体が最初から運動しているなら、力など受けなくても物体は運動エネルギーをもつのですから。
(力を受けない物体は等速直線運動を続ける、という慣性の法則を思い出してください。)

では初期状態を静止に決めておいたら、大きな力は大きな運動量を生じるでしょうか?
それもそうとは限らないですよね。
運動量の変化は力の時間的積算量(力積)だから、
力の大きさだけでなく時間の長さも関与するはずです。
100万円の年金を1年もらった場合と、10万円の年金を30年もらった場合を考えてみてください。

以上、式でまとめて書くと
K = p^2 / (2m)
Δp = F Δt
という関係がなりたちますが
「Kはスカラーだがpはベクトル」
「pはFの積算量」
という点に注意して考えれば、K, p, F の違いが理解できると思います。

> 運動エネルギーをもつということは力があるということですよね?
> 物体Aに力がくわわるというとは物体Aは運動エネルギーをもつようになる。

答えは「そうではない」のですが、どこが違うのかが知りたいのですよね。
以下に自分なりの説明を試みてみます。

たとえて言うならば
お金持ち=口座残高が多い=金を使いまくる
みたいな等式が成り立ちそうに思ってしまうけれども実際はそうではない、というようなものです。

「運動エネルギー(K)」と「力(F)」は両方とも「運動量(p)」に関係があるのですが、この3...続きを読む

Q運動エネルギーと位置エネルギー

ばね振動において運動エネルギーと位置エネルギーのやり取りを次の瞬間ごとに説明お願いします

1.ばねを引っ張って伸ばした(振動開始時)
2.ばねが自然長になった
3.おもりが行き過ぎて停止した(折り返し)
4.おもりが戻ってきてばねが自然長
5.最初のところに戻った

Aベストアンサー

 ばねを引っ張って伸ばした(あるいは押して縮めた)ときのポテンシャルエネルギーは、ばね定数をk、伸ばした(あるいは縮めた)変位をxとして、

   U=(1/2)・ k・x^2

 従って変位Aのときのポテンシャルエネルギーは。

   U=(1/2)・ k・A^2   (1)

これが「1」の状態です。

 ばねに関する「フックの法則」を参照ください。
    ↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87


 このばねに質量mの物体を付けて、変位をAのところから手を離して、自由振動させたときの変位は、

   x=A・cos(ωt)  ただし ω=√(k/m)

 速度は、これを微分して

   v=dx/dt=-A・ω・sin(ωt)


 「2」の状態、つまり変位がゼロ(=自然長)になるのは、ωt=π/2 のときで、そのときの速度は

   v=-A・ω・sin(π/2)=-A・ω=-A・√(k/m)

 従ってそのときの運動エネルギーは。

   E=(1/2)・m・v^2
   =(1/2)・m・A^2・(k/m)
   =(1/2)・k・A^2       (2)

 このときx=0なので、ポテンシャルエネルギーはゼロです。


 「3」の状態、つまり調和振動が手を離した反対側(引っ張って離したときは、最も縮んだ時)のときには、ωt=π なので

   x=A・cos(π)=-A

 従ってポテンシャルエネルギーは

   U=(1/2)・ k・A^2   (3)

 速度は

  v=-A・ω・sin(π)=0

なので運動エネルギーはゼロです。


 「4」については、、ωt=3π/2 のときで、そのときのポテンシャルエネルギーはゼロ、速度は

   v=-A・ω・sin(3π/2)=A・ω=A・√(k/m)

なので、そのときの運動エネルギーは。

   E=(1/2)・m・v^2
   =(1/2)・m・A^2・(k/m)
   =(1/2)・k・A^2       (4)


 「5」の最初のところでは、(1)になります。
(摩擦や空気の抵抗など、ロスがない理想的な状態の場合)


 以上が、「1」~「5」に対する答です。
 つまり、ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーが置換されて、「エネルギー保存の法則」が成立している状態です。
 「1」~「5」の途中の状態では、ポテンシャルエネルギーと運動エネルギーがどちらもゼロではなく、合計値が (1/2)・k・A^2 になっているということです。

 ばねを引っ張って伸ばした(あるいは押して縮めた)ときのポテンシャルエネルギーは、ばね定数をk、伸ばした(あるいは縮めた)変位をxとして、

   U=(1/2)・ k・x^2

 従って変位Aのときのポテンシャルエネルギーは。

   U=(1/2)・ k・A^2   (1)

これが「1」の状態です。

 ばねに関する「フックの法則」を参照ください。
    ↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87


 このばねに質量mの物体を付けて、変位をAのところから手を...続きを読む


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