数学IIBについてベクトルについての問題が解けません

問題
2点A(4,5,2)、B(10,15,4)を通る直線がZX平面及びXY平面と交わる点をそれぞれQ及びRとするとき、線分QRの
長さは?
回答
√35


本当にわからなくて困っております。
お詳しい方ご教授お願致します。

A 回答 (4件)

次のような計算になると思います.読み取って下さい.



2点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2) を通る直線の方程式は,

[(x-x1)/(x2-x1)] =[(y-y1)/(y2-y1)] =[(z-z1)/(z2-z1)]

A(4,5,2)、B(10,15,4)から,

x1=4, x2=10, y1=5, y2=15, z1=2, z2=4

したがって,直線の方程式は,

[(x-4)/(10-4)] =[(y-5)/(15-5)] =[(z-2)/(4-2)]

[(x-4)/6] =[(y-5)/10] =[(z-2)/2]

ZX平面の点Qは,y=0 で得られるから,
[(x-4)/6] =[(0-5)/10] =[(z-2)/2]
[(x-4)/6] =[-5/10] =[(z-2)/2]

点Qのx座標は,
[(x-4)/6] =[-5/10]
x-4 =-30/10
x =-3+4 =1  x =1 

点Qの z 座標は,
[-5/10] =[(z-2)/2]

[-10/10] =z-2
-1 =z-2
-1 +2=z   z=1 

点Qは,Q(1,0,1)となります.


XY平面の点Rは,z=0 で得られるから,

[(x-4)/6] =[(y-5)/10] =[(0-2)/2]
[(x-4)/6] =[(y-5)/10] =-1


点Rのx座標は,
[(x-4)/6] =-1
x-4 =-6
x =-6+4 =1,  x =-2 

点Rの y 座標は,
[(y-5)/10] =-1

y-5 =-10
y =-10+5,  y =-5  

点Rは,R(-2,-5,0)となります.

三次元直交座標の距離 L は
L=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2]
ですから,

点Q(1,0,1)
点R(-2,-5,0)

x1=1, x2=-2, y1=0, y2=-5, z1=1, z2=0

L=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2]

L=√[(1-(-2))^2+(0-(-5))^2+(1-0)^2]

L=√[(1+2)^2+(5)^2+(1)^2]

L=√[3^2+5^2+1^2]

L=√[9+25+1]

L=√[35]

となります.
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「2点A(4,5,2)、B(10,15,4)を通る直線」の座標は、


 (x, y, z) = (4, 5, 2) + k*(6, 10, 2)  …(1)
  < -∞< k <+∞ >

「ZX平面と交わる点Q」 (1) にて y = 0 となる点だから、
 5 + 10k = 0 → k = -1/2
 (qx, qy, qz) = (1, 0, 1)

「XY平面と交わる点R」 (1) にて z = 0 となる点だから、
 5 + 10k = 0 → k = -1
 (rx, ry, rz) = (-2, -5, 0)

「線分QRの長さ」 L として、
 L^2 = 3^2 + 5^2 + 1^2 = 9 + 25 + 1 = 35

…という勘定手順らしい。
   
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線分ABを媒介変数表示で表現すると


AB=A+t(B-A)=(4,5,2)+t{(10,15,4)-(4,5,2)}=(4+6t,5+10t,2+2t)
Q点は直線ABのY座標5+10t=0(t=-1/2)の時なのでこの時のX,Z座標を求めると Q(1,0,1)
R点は直線ABのZ座標2+2t=0(t=-1)の時なのでこの時のX,Y座標を求めると R(-2,-5,0)
∴QR=√{(1+2)^2+(0+5)^2+(1-0)^2}=√(9+25+1)=√35
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どこが分からないのでしょうか?



素直に Q, R の座標を求めればいいだけですよね.

この回答への補足

そうです。
でもみなさんのおかげでわかりました。ありがとうございました。

補足日時:2011/04/28 16:15
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