整数問題

a,bを整数とする。
a^2009+b^2009となる正の整数が２００９桁以下であるとき、
このような整数は何通りあるか。

正直どこをとっかかりにするとよいのか分からないが、
考えてみたのは、
(1)a,bがどちらも正の整数でa>=bのときを考える。
(2)(1)のとき、２００９桁以下だから、1=<a=<9が必要となる。
(3)1=<a=<9のそれぞれのaの値に対して、bの値を考えるが、２００９桁を超すのが
　bがどの値のときか、またはすべての1=<b=<9で２００９桁を超さないのか、判断できず。

上の場合分けだと、b=<0=<a のとき、を考えなければならないが、
このときは、aはいくらでも大きくできるのでないかと思い、この考え方はだめだと思った。

よろしくアドバイスお願いします。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/05/02 11:34

どうして「aはいくらでも大きくできるのでないかと思」ったのでしょうか? 問題文をじっと読めば, そのようなことはないと分かりますよ.

あと, これをやろうとすると 9^2009 とか 11^2009 とかを考えなきゃならないんだけど, 「中学レベル」でどうしろというんだろう. ある程度数字の感覚があれば「9^2009 はど～にも 2009桁にはなりえない」とか「明らかに 11^2009 は 2009桁では収まらない」とかほぼ一瞬で分かるんだけど, 説明が大変.

蛇足: 「=<」には違和感がある. 「<=」の方が自然じゃないかなぁ.

No.3 回答者： tmpname 回答日時： 2011/05/02 11:14

何か冒頭日本語として変な文章をうってしまいました。

No.2 回答者： tmpname 回答日時： 2011/05/02 11:11

まだ全然考えてませんが、取り敢えずあなたの質問に

事だけを考えると：

(3)
1≦a≦9のそれぞれのaの値に対して、bの値を考えるが、
2009桁を超すのがbがどの値のときか、またはすべての
1≦b≦9で2009桁を超さないのか

まあrubyで計算させるとa=b=9のときa^2009+b^2009の
値は1918桁の数というのが一瞬で分かりますが：
9^2 = 81で、もう少し計算すると
9^4 < 66 * 10^2
9^6 < 44 * 10^4
9^8 < 44 * 10^6 < (1/2) * 10^8
であるから
9^56 < ((1/2)^7) * 10^56 < 10*54
つまり9^56は既に54桁以下の数で、これよりa=b=9の時
a^2009+b^2009が2009桁を越えることはありえない
事がわかります

(4)
b≦0≦a のとき、を考えなければならないが、
このときは、aはいくらでも大きくできるのでないかと思い

そんなことは無くて、明らかにb≧-(a-1)です。
f(x)=x^2009とするとf'(x)=2009*(x^2008)で、
平均値の定理からあるa-1 < c < aがあって
a^2009 + b^2009
≧ a^2009 - (a-1)^2009
= 2009 * (c^2008)
> 2009 * ((a-1)^2008)
であるからこの場合a≦10です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
「9^56は既に54桁以下の数で、これよりa=b=9の時
a^2009+b^2009が2009桁を越えることはありえない」
「aはいくらでも大きくできるのでないかと思い

そんなことは無くて、明らかにb≧-(a-1)です。」
この２点についてどうしてか考えています。

お礼日時：2011/05/02 11:23

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/05/02 11:06

負の値を許しても, 問題としては破たんしません.

a, b ともに負では困るので少なくとも一方は正. で
(1) 両方とも非負
(2) 一方が正で他方は負
と場合わけすることになると思う.

対数を使っていいならさほど問題にはならない.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
レベルとしては、中学の範囲での問題です

お礼日時：2011/05/02 11:14