微分記号“ｄ”について

こんにちは＾＾
微分記号“ｄ”について質問です！

例えば、置換積分などをする際に
３ｘ－２＝ｔ　・・・(1)
とするとします。

両辺を微分すると
３ｄｘ＝ｄｔ　・・・(2)
となるのはわかるのですが、この時についているｄｘはなんなのでしょうか？
３は微分してできたものですよという印ですか？
高校のときになるものはなるで覚えてしまっていたのでちょっと理屈がわからなくて・・・

(1)式と(2)式の間は
ｄ（３ｘ－２）＝ｄｔ
が入っていると考えてよろしいのでしょうか？
またｄｙ/ｄｘなどと表記するときとの違いも教えてください！

No.1 ベストアンサー 回答者： -Ken-Ken- 回答日時： 2011/05/14 02:53

物理の方では、dは微小量をあらわすと思えばいいと思います。

３ｄｘ＝ｄｔ

は、微小な変化 dx に対応する t の変化量が dt ということになりますね。

３ｘ－２＝ｔ　・・・(1)

つまり、xが変化しても-2の部分は変わりませんから、tの変化量に影響ありません。
xの3倍（から2を引いたもの）がtなのですから、微小変化 dx に対して、tの変化量 dt はdx の3倍になります。だから、

３ｄｘ＝ｄｔ　・・・(2)

それで、(1)式と(2)式の間に文章で書いた部分をまとめると、

ｄ（３ｘ－２）＝ｄｔ

ということにはなると思います。
微分しているのか、といえば、そのとおりです。dxに対応するtの変化量が必要なのですから、微分しています。
ただ、微分というのは

dt/dx = 3

と書くのが本当です。dt/dxは、ひとまとまりなんですよね。
分数みたいに見えるから、

dt=3dx ⇒ ∫dt=∫3dx ⇒ t=3x+C

みたいに計算するのです。
数学的にはかなり怪しい操作だと聞いたことがありますが、物理屋さんはよくやりますね。

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます＾＾
これで積分を解くときのモヤモヤが解決しました！

お礼日時：2011/05/15 23:59

No.3 回答者： kbtkny 回答日時： 2011/05/14 11:30

dは、differentialのdだったと思います。

differential
【名】
　差、差異｛さい｝、格差｛かくさ｝
　差動｛さどう｝、差動装置｛さどう そうち｝
《数学》微分｛びぶん｝
【形】
区別｛くべつ｝を示す、差別的｛さべつてき｝な
《数学》微分｛びぶん｝の

dtは、tの差異を意味し、dy/dx は、ｙの差異をxの差異で
割るを意味しています。この、差異は他の回答者様も言われて
いる様に、微小な変化と考えると分かりやすいと思います。

この回答へのお礼

differentioalのｄだったのですね！記号の由来を知っておくと理解しやすいので助かりました＾＾

お礼日時：2011/05/16 00:01

No.2 回答者： again1212 回答日時： 2011/05/14 03:31

d とは　「ちょっと」という意味です。

また　dx　は「ちょっとだけｘ方向にずらす」という意味です。dtも同じです。

その例で言うと、

3dx=dt というのは　（ちょっとｘにずらす３倍分）＝（ちょっとｔにずらす）ですよね。
これは何を意味してるのかというと、
微分する前の式、3x-2=t　のグラフを書いてみればわかります。
このグラフはtを縦軸、xを横軸にとると傾き３のグラフですね。
例えば右に１いったとしたら上に３上がるんです。

じゃあ、右にdxいったとしたら？
傾き３だから上に3dx上がりますよね。
しかもここで、dxはものすごい小さい数なので3をかけたところで小さいのに変わりありません。だからこの上にいった分の3dxを　dt　と　これまたｄを使って表せるんです。
これが　3dx=dt の意味です。

また、「「(1)式と(2)式の間は
ｄ（３ｘ－２）＝ｄｔ
が入っていると考えてよろしいのでしょうか？」」
とのことですが、わざわざそんな風に考える必要がないです。

というのは、　微分という作業は傾きを求める作業であって、
t=3x-2を見た瞬間にこれは傾き3だなってわかるからです。
つまりこのt=3x-2からいきなり3dx=dtがわかるわけですね。

ちなみにt=3x-2を変形してx=t/3+2/3にしたら傾き1/3となるんじゃないかと思うかもしれませんが、
結局これも「ｔ」に1/3がかかっているんだから 1/3dt=dx となって結局　3dx=dtです。

最後の「「ｄｙ/ｄｘなどと表記するときとの違い」」についてですが、
はっきり言うと意味自体に違いはまったくないです。結局傾きを表しますから。
ただdy/dxという表示にすることで「ｙ」を「ｘ」で微分したということを明確に示すことができます。
というのは、先ほども触れましたが　３ｘ－２＝ｔ　から 3dx=dtになるのは
「ｘ」で微分しようが「ｔ」で微分しようが同じなのです。　
だからどっちで微分したのかがわからないんですよね。結果がまったく同じだから。
ただ置換積分の場合どれで微分したのかは重要でないから3dx=dtという書き方の方が
有用だということです。

この回答へのお礼

すごく丁寧に回答してくださってありがとうございます＾＾
お陰様でスッキリです！

お礼日時：2011/05/16 00:00