nCr?二項定理？

お恥ずかしい話ですが、ご教授下さい。

問題「男子３人，女子５人の中から３人を選ぶとき，男子が少なくとも１人含まれる選び方は何通りあるか。 」という問題があるのですが、さっぱり分かりません。
まあ、回答結果は、答えをみればよいのですが、その解説がさっぱりです。
　解説には「n 個の中から r 個取り出す組み合わせは、 nＣr＝n! / r!(n-r)! である」とありますが、
nCrってなんですか？高校で習いました？高校時代まじめに勉強していなかったおかげで、
さっぱり意味不明です。
ｎとｒは変数ですよね？でもCって何ですか？それと「n!」って何ですか？
そもそも「n!」は、「nエクスクラメーション」と読むのでしょうか？
ついでに「nCr」は「えぬ、しー、あーる」と読むのでしょうか？
「ｎ！」は、ｎをどうすればよいのでしょうか？

今更ながら基礎教育の大事さを身に染みて感じております。
是非、私程度のものでも分かる解説をお願い致します。

No.3 回答者： Ishiwara 回答日時： 2011/06/08 13:39

Ｃは組合せ（コンビネーション）、！は階乗（ファクトリアル）ですが、読み方は自由です。

８！＝8・7・6・5・4・3・2・1です。

「８人を３人と５人に分ける方法」は、（8・7・6・5・4・3・2・1）/(3・2・1)（5・4・3・2・1）ですが、簡単に言えば「８人から３人を取り出す方法」ですから、（8・7・6）/(3・2・1)とすることもできます。これを、8Ｃ3と書きます。

「３人の中に男がいること」という条件がなければ、上記で終わりです。しかし、この条件があるので
「Ａ：３人の中に男がいる組合せ」＝「Ｂ：この条件をつけないときの組合せ（8Ｃ3）」－「Ｃ：３人の中に男がいない」組合せ」
と考えます。

つまり、Ｃは、女５人の中からこの３人を選ぶ組合せ（5C3）と同じです。よって、Ａ＝（（8・7・6）-（5・4・3））/(3・2・1)です。

nとかｒとか、文字による抽象表現が入ると、頭の中がゴチャゴチャしてくるので、最初は数字の例で理解するといいでしょう。それができてから文字式に進みます。実は、文字を使うことこそが数学の本質なのですが…

なお、二項定理は、組合せを学んでから出てくる話です。この問題に関する限り、二項定理は関係ありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
読み方は自由ですか…
何でも定義する数学という意識があるのですが、読み方はカッチリと定義しないのですね。
(「わからん」という事を定義してしまうぐらいですから)

コンビネーションは、なんとなくは分かりましたが、なぜ"n"と"r"なんでしょうか？
あまり勉強していない私にとっては、xとyを使ってもらった方が馴染み良いのですが。
いや、これもきっと理由があって、定義されているのでしょうね。
　階乗もきっと習ったんでしょうね。間違いなく。まったく勉強しかった過去の私が憎いです。

なんにせよ、コンビネーションと階乗については理解(表面上は)しました。
有難う御座いました。

お礼日時：2011/06/08 21:34

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/08 01:20

>nCrってなんですか？高校で習いました？

高校数学の中の順列・組み合せの所で習います。

「nCr」は「えぬ、しー、あーる」と読むのでしょうか？
それでもOK。
nCrは「組み合せ」でCombinationのCとn個の中からr個選ぶ選び方の数を表します。
呼び方：そのまま「エヌ・シー・アール」、「シーのエヌ・アール」などと呼んでいます。

>「ｎ！」は、ｎをどうすればよいのでしょうか？
n!(エヌ・エクスクラメーションと呼ぶ)は「n・(n-1)・ … ・4・3・2・1」と
「1からnまでの積」を表します。

問題を解く前に以下の参考URLで、順列と組み合せの基礎的な知識を学習されることをお勧めします。
参考URL
http://www.kogures.com/hitoshi/webtext/stat-pc/i …
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA …
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/pr …
http://yosshy.sansu.org/P&C.htm
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/combinati …
(nPr,nCrの計算サイト)
http://www.geocities.co.jp/Playtown-Toys/2593/Ja …

この回答へのお礼

回答有難う御座います。
そうですか、高校で…　まったく記憶が御座いません。
こちらに質問する前に調べてみたんですが、なんせ読み方も分からないので、
なかなか思う様なサイトにたどり着けませんでした。
！は階乗なんですね。って階乗が何かも分かっていませんでしたが。

個人的には、やっぱり名前って大事だと思うんですよね。
nCr考え付いた人がしっかりと責任を持って名前付けしてほしかったです。
いや、まあどうでもいいんですが。

URL参照させていただきます。
有難う御座いました！　←(有難う御座いましたの階乗ではありません)

お礼日時：2011/06/08 21:42

No.1 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2011/06/08 01:07

こんにちは。

＞＞＞nCrってなんですか？

ｎ個の中からｒ個を選ぶ組み合せの（種類の）数です。

＞＞＞高校で習いました？

はい。

＞＞＞ｎとｒは変数ですよね？

変数とも言えるし、定数とも言えます。時と場合によりけりです。

＞＞＞でもCって何ですか

Combination（コンビネーション）です。日本語で言えば「組み合せ」です。

＞＞＞それと「n!」って何ですか？
＞＞＞「ｎ！」は、ｎをどうすればよいのでしょうか？

ｎ！は、「ｎの階乗（えぬのかいじょう）」です。
たとえば、ｎ＝５　だったら、ｎ！＝５×４×３×２×１　です。
５！＝５×４×３×２×１　です。

＞＞＞そもそも「n!」は、「nエクスクラメーション」と読むのでしょうか？

えぬのかいじょう　って言います。

＞＞＞ついでに「nCr」は「えぬ、しー、あーる」と読むのでしょうか？

まあ、それでも良いと思います。
人によって、先生によって、言い方が違います。統一されていません。
私は「ｎ個からｒ個選ぶ組み合わせ」と言ってます。

たとえば、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５枚のカードがあるとしましょうか。
その中から３枚選ぶとします。
もしも、１枚目、２枚目、３枚目というふうに区別して番号をつけるとすると、
１枚目は５通り、２枚目は残りから４通り、３枚目は残りから３通りの選び方があります。
ですから、選び方は、５×４×３　通りあります。
これは、５×４×３×２×１　÷　（２×１）　すなわち　５！／（５－３）！　とも書けますよね。
つまり、ｎ枚のカードから順番を気にしてｒ枚を選ぶ選び方は、ｎ！／（ｎ－ｒ）！　通りあります。
このように、順番を気にして選ぶことを「順列」と言います。
順列の記号は、Ｐです。
nＰr　＝　ｎ！／（ｎ－ｒ）！

今度は、順番を気にしないことにしましょう。
順番を気にしない選び方を「組み合せ」と言います。
記号は、Ｃ　です。
選んだ３枚が、たとえば、ＡＢＣでもＡＣＢでもＢＡＣでもＢＣＡでもＣＡＢでもＣＢＡでも同じと見なします。
これは、つまり、ダブりのカウントを防ぐためには、上記で求めた順列の数を、「３つから３つ（ｒ個からｒ個）を選ぶ順列の数」で割ればよいことになります。
nＣr　＝　nＰr　÷　rＰr　＝　ｎ！／（ｎ－ｒ）！　÷　｛ｒ！／（ｒ－ｒ）！｝
　＝　ｎ！／（ｎ－ｒ）！　÷　｛ｒ！／０！｝
　＝　ｎ！／（ｎ－ｒ）！　÷　ｒ！
（注：　０！＝１　です）

ちなみに、私は上記の公式を暗記していたわけではありません。
考え方だけ覚えておけば、いつでも公式は書けます。
実際、公式どおりに計算しなくても、問題は解けます。
問題文で文字記号が使われているならまだしも、具体的な数字が与えられている問題で階乗を階乗で割る、なんていう阿呆くさい計算はやらなくてよいです。

＞＞＞問題「男子３人，女子５人の中から３人を選ぶとき，男子が少なくとも１人含まれる選び方は何通りあるか。 」

これは、
Ａ：　考えられるすべての組み合わせの数
Ｂ：　女子だけになる組み合わせの数
と置いておいて、ＡからＢを引き算すれば答えが出ます。

Ａ　＝　8Ｃ3　＝　８×７×６÷（３×２×１）　＝　５６（通り）
Ｂ　＝　5Ｃ3　＝　５×４×３÷（３×２×１）　＝　１０（通り）

こたえ　＝　Ａ－Ｂ　＝　４６（通り）

この回答へのお礼

回答有難う御座いました。

今回の質問で一番驚いたのが、この式の呼び方が統一されていない事でした。
一般常識レベルの式にも関わらず存在すら知らなかった(忘れていた？)事は、本当に恥ずべき事です。
若いときにしっかり勉強していないといけませんな。
さて、ご回答にありました、

>>でもCって何ですか？
>Combination（コンビネーション）です。日本語で言えば「組み合せ」です。

というところがしっくりきません。最初にお伝えしますが、私は恐らく劣等性と呼ばれるクラスに属する者です。それを前提としてお聞きします。
小中学生で習うような式、例えば　X = Y + 2　の場合、＝は等号、＋は加法演算子ですよね。
この"C"というのは、これらと同じ位置に属するものなのでしょうか？
それにしては、"C"の前後に付くrとnのフォントサイズが小さいような…
べき乗もそうですが、数学においては小さいフォントサイズの数字は、それなりの意味を持つのでしょうか？　

いや、いろいろと書きましたがふと思っただけです。
分かり良い解説有難う御座いました。

お礼日時：2011/06/08 22:08