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ある試験で60点を取った人の偏差値と上位からの順位を求めよ。
ただし、平均は40.2点、標準偏差18.6点、受験者数は59人とする。

講義に欠席していたので答えがわかりません。
よろしくおねがいします。

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A 回答 (3件)

こんにちは。



平均点との差は、
60点-40.2点 = 19.8点
これを標準偏差で割ると、
19.8点 ÷ 18.6点 ≒ 1.06
よって偏差値は、
50 + 1.06×10 = 60.6

また、正規分布表で、+1.06(=1.0+0.06)のところを参照すると、0.8554 と書いてある。
http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/mnaka/ut/ …
これは、1万人中、その人の下に8553人(まあ8554でもいいですが)がいて、上には1445人(まあ1446でもいいですが)がいるということなので、
59人中の順位 : 59人 = 1446位 : 10000人
となり、
59人中の順位 = 59×1446÷10000 ≒ 8.53(位)
つまり、8~9位。

なお、正規分布表にはいくつか種類があるので、もしも先生が指定している正規分布表があれば、それを使うのがよいでしょう。
その場合は、計算式が上記と若干異なる場合があります。
ただし、答えはまったく同じになりますけどね。
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偏差値:y


得点:x=60
平均:x(bar)=40.2
標準偏差:σ=18.6
とおいて
y=50+10×(60-40.2)/18.6
このyと正規分布表を使って順位を求める。
その方法は下記を見て、自分でトライしてください。
http://www.stat.go.jp/howto/lecture4/02.htm
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「講義に欠席していたので答えがわかりません。


と教員にいえば済む話ではないでしょうか.
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Q正規分布の問題

こんばんは。
正規分布の問題ですが、最近統計学を学び始めたので、全く理解できません。
どなたかご教示よろしくお願い致します。
解法を教えて頂けると助かりますが、お手数でしたらプロセスだけでもお願い致します。

問題
 サイコロを42000回投げて出た目の総和がある値以上となる確立を0.002以下としたい。この値の最小値はおよそいくらか。
 ただし、目の出る確率は1/6ですべて等しく、何回目にどの目が出るかは互いに独立な事象である。
 なお、確立変数Zの平均E(Z),分散V(Z)が存在するとき、関係式 V(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2 が成り立つ
 また、{Xi} (i=1,2,..,n) が互いに独立かつ同一の確率分布に従う確率変数列で、E(Xi), V(Xi)が有限ならば、nが十分大きいとき、Y=ΣXiは近似的に正規分布に従うとみなせる。
 さらに確立変数Yが正規分布に従うならば、(Y-E(Y))/√(V(X))は標準正規分布に従い、標準正規分布の確立密度関数,
 f(x)=1/√(2π)・e^-x^2/2
に対し、
 ∫f(x)dx=0.002 (x; 2.88~+∞)
とする。

解は148000です。よろしくお願い致します。

こんばんは。
正規分布の問題ですが、最近統計学を学び始めたので、全く理解できません。
どなたかご教示よろしくお願い致します。
解法を教えて頂けると助かりますが、お手数でしたらプロセスだけでもお願い致します。

問題
 サイコロを42000回投げて出た目の総和がある値以上となる確立を0.002以下としたい。この値の最小値はおよそいくらか。
 ただし、目の出る確率は1/6ですべて等しく、何回目にどの目が出るかは互いに独立な事象である。
 なお、確立変数Zの平均E(Z),分散V(Z)が存在するとき、関...続きを読む

Aベストアンサー

問題が総和についてなのでこちらを使ってください。

>サイコロをn回振ったときの目の合計は正規分布に従う。
>ただし、その分散はもとの分散の【n倍】である。

手順は以下の通り。

1.一つのサイコロを振ったときに出る目Zの平均E(Z)と分散V(Z)を求める

2.n回サイコロを振ったときに出る目の総和Y=ΣZは、平均E(Y)がn*E(Z)、分散V(Y)がn*V(Z)の正規分布に従うのでn*E(Z)とn*V(Z)を計算する。

※1 この分布を標準化するには
x=[Y-E(Y)]/√[V(Y)]=[Y-n*E(Z)]/√[n*V(Z)]
という変数変換をすればよい。したがって、xをYに戻すには
Y=E(Y)+x*√[V(Y)] = n*E(Z)+x*√[n*V(Z)]
を計算する。

※2 f(x)dxはxがx~x+dxの範囲にある確率なので、xがa以上である確率(上側確率)P(a≦x)は
P(a≦x)=∫f(x)dx (x; a~+∞) 

3.問題では標準化された変数xについて上側確率がP(a≦x)=0.002であり、このときのaがa=2.88と与えられているので、※2にしたがってこのzをYに戻す。

以上です。

問題が総和についてなのでこちらを使ってください。

>サイコロをn回振ったときの目の合計は正規分布に従う。
>ただし、その分散はもとの分散の【n倍】である。

手順は以下の通り。

1.一つのサイコロを振ったときに出る目Zの平均E(Z)と分散V(Z)を求める

2.n回サイコロを振ったときに出る目の総和Y=ΣZは、平均E(Y)がn*E(Z)、分散V(Y)がn*V(Z)の正規分布に従うのでn*E(Z)とn*V(Z)を計算する。

※1 この分布を標準化するには
x=[Y-E(Y)]/√[V(Y)]=[Y-n*E(Z)]/√[n*V(Z)]
という変数変換を...続きを読む

Q正規分布 確率計算

ある集団の体重の分布は、平均値60㎏、分散8²㎏に従う正規分布である。
このとき、無作為に抽出した2人の体重差が4㎏を超える確率を求めるにはどうすればよいですか?
正規分布について、正規化することや標準正規分布の読み取は出来ます。

Aベストアンサー

#1です。

>感覚的に、4キロを超える確率が0.72...というのは高すぎるような気もするのですが。

について、2つの説明をします。

①モンテカルロ・シミュレーション
N(60,8^2)に従う正規乱数を2個作って、
それらの差の絶対値が4を超えたらカウントするという操作を
10万回繰り返し、全体に占める割合を算出しました。
以下は、Rというフリーの統計ソフトのスクリプトです。

counter <- 0
iterate <- 0
while(iterate < 100000){
x1 <- rnorm(1,60,8)
x2 <- rnorm(1,60,8)
counter <- counter + ifelse(abs(x1 - x2) > 4,1,0)
iterate <- iterate + 1
}
counter / iterate

結果は、 0.72165 でした。
前にお示しした計算値に近い値になりました。

②正規分布に従う無作為標本のレンジ(範囲)Rの期待値
n個の無作為標本の範囲はどんな値になるか。
品質管理には、次のような式があります。
σ=R/d2
n=2のとき、d2≒1.12838
σ=8 なので、よって、R=8×1.12838=9.02704
つまり、σ=8の集団から得られるn=2の標本は、
平均的には約9の範囲があるのです。
4以上の開きが出るのは、違和感が無いというより、
むしろ当然なのです。

#1です。

>感覚的に、4キロを超える確率が0.72...というのは高すぎるような気もするのですが。

について、2つの説明をします。

①モンテカルロ・シミュレーション
N(60,8^2)に従う正規乱数を2個作って、
それらの差の絶対値が4を超えたらカウントするという操作を
10万回繰り返し、全体に占める割合を算出しました。
以下は、Rというフリーの統計ソフトのスクリプトです。

counter <- 0
iterate <- 0
while(iterate < 100000){
x1 <- rnorm(1,60,8)
x2 <- rnorm(1,60,8)
counter <- counter + ifelse(abs(x...続きを読む

Q標準正規分布の問題について

標準正規分布の問題が解けません。
世界史のテストで、
平均点が40点
標準偏差20
のとき、60点をとった人は1000人中何位か?
という問題です。

まず平均点60点=0、標準偏差=1として、
ここで60点をとる確率を考えると、
確率変数Z=60-40/20=1
で、つまり
Pr(Z≧1)
のとき60点以上をとる人の割合は全体1.0(=1000人)の中で0.3413ですよね?
なので、
0.3413×1000で
答えは341位/1000人かな、と思ったのですが、
実際の答えは158位/1000人となっています。
式は
Pr(Z≧1)
=0.5-0.3413
=0.1587
となっています。
なぜ、0.5という数字が登場するのでしょうか?
それはどこから導かれた数字なのでしょうか。

数学はさっぱりで全然わかりません。
すみませんがどなたか教えて下さい。

Aベストアンサー

正規分布表の使い方を理解しましょう。

そして、「何かおかしい」と思ったら、同じように、70点を取った人の順位を計算してみましょう。
確率変数Z=(70-40)/20=1.5 です。
で、同じように計算すると、全体の、0.4位になってしまいます。
点数が高いほど、順位が下がる?
変ですね?

こういうところで、「どこが間違っているのか?」を考える癖をつけると良いです。

さて、標準偏差の1倍のところが、 0.3413 ということは、
http://emath.s40.xrea.com/ydir/Wiki/index.php?%C0%B5%B5%AC%CA%AC%C9%DB%C9%BD

のような表ですね。

この表の上にある、「正規分布の絵」を見ましょう。
(全体を1としたときの)斜線の部分の面積を表しているのが、この表です。

で、平均点から上の方に、標準偏差の1倍(正規分布表の「1」)の部分は、真ん中からその部分までの面積になっています。
「順位」というのは、当然トップから数えたものですから、斜線の部分の、さらに向かって右側の部分の面積です。

斜線の部分が、0.3413 ということは、その右側は、平均の上半分(これが、0.5)から、斜線部分(0.3414)を引いた、 0.5 - 0.3413 です。

正規分布表の使い方を理解しましょう。

そして、「何かおかしい」と思ったら、同じように、70点を取った人の順位を計算してみましょう。
確率変数Z=(70-40)/20=1.5 です。
で、同じように計算すると、全体の、0.4位になってしまいます。
点数が高いほど、順位が下がる?
変ですね?

こういうところで、「どこが間違っているのか?」を考える癖をつけると良いです。

さて、標準偏差の1倍のところが、 0.3413 ということは、
http://emath.s40.xrea.com/ydir/Wiki/index.php?%C0%B5%B5%AC%CA%AC%C9%DB%C9%BD

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Q不偏分散の (n-1)で割る理由、、、

分散の計算では、nで割る母分散と、(n-1)で割る不偏分散がありますが
なぜ(n-1)で割るのか、いまいち直感に訴える説明に出会っていません。
たいていの本では、天下り式に「(n-1)で割る」とだけしか書いて
いません。たまに親切な本では計算式に平均値が入っているので自由度は
nから1だけ少なくなる云々とありますが、自由度が何故1減らなければ
ならないのか、いまいち理解出来ません。
もう少し高度な本になると、期待値Eやら分散Vやらが出て来て、
不偏統計量云々の「ややこしい」説明が出て来ますが、これも直感に
訴えかける説明ではありません。
数物系出身ながらお恥ずかしい質問ですが、いざ自分に問いかけてみると
納得できる説明が出来ません。「なるほど!」というご説明をいただけると
幸いです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>自由度とは何を意味するのでしょうか?
数学的正確さがない表現です。

測定点がn個あったとします。これをベクトルで考えると.これから求めようとする値である1点の点はn個の方向へ引っ張られているのです。この数が自由度です。
もし.このn個の中の数の1つを使ってしまったらばどうなるのでしょうか。一つ引っ張る方向が減ります。
世の中にnこしか測定点が存在しない場合には.全体が決まっていますから平均値を求めても自由度は変化しません。しかし.無数の測定が出来る時に平均を求めたらばどうなるのでしょうか。本来無数の点すべてを測定した時に求められる1点の値が分からないから.n個の測定値の算術平均を取って多分全体の点の1点になるであろうと推定して平均としました。つまり.絶対的な値ではなくて想像上の点です。今まであった点に変えてこの点を使いますから.引っ張る方向が一つ減ります。
自由度で割るというのは.このように引っ張る点1点あたりの割合を示しています。

このように.一つの値を求めようとした時に.自由度は測定点の数から推定点の数を引いた残りを示しています。

>自由度とは何を意味するのでしょうか?
数学的正確さがない表現です。

測定点がn個あったとします。これをベクトルで考えると.これから求めようとする値である1点の点はn個の方向へ引っ張られているのです。この数が自由度です。
もし.このn個の中の数の1つを使ってしまったらばどうなるのでしょうか。一つ引っ張る方向が減ります。
世の中にnこしか測定点が存在しない場合には.全体が決まっていますから平均値を求めても自由度は変化しません。しかし.無数の測定が出来る時に平均を求めたらばど...続きを読む

Q統計学のP検定とt検定について教えてください。

よく本を読んでいると出てきますが、なんだかよくわかりません。
HP等を使って検索してるのですが、これだ!という回答は得ることができず、いつも途中でオヤスミモードに突入してしまいます。
如何せん頭の活動がトロイ私にとって、計算式を出されてしまうと即効熟睡モードに入りますのでわかりやすく教えてください。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

大学院で研究をする際に道具として統計学を使っている者です.

>質問:統計学のP検定とt検定について教えてください.

P検定……? あまり聞き覚えがない検定名ですが,できましたら正式名称あるいはどのような場合に使用される検定か具体例を示して下さい.とりあえず「t検定」について説明します.

t検定とは正式な定義はともかくとして「t分布を利用した有意性検定」と考えていただくとよいでしょう.……ただしこの説明で分かる人はある程度統計学を勉強した人であって,統計学初心者の人にとっては意味不明かもしれません.
抽象的に考えると分かりづらいので,実際にt検定がどのように使われているかを
具体例を使って説明します.

使用例:男性と女性との体重に差があるか?

  ─────────────────────────────
   女性体重  51 48 51 52 45  平均値: 49.4
  ─────────────────────────────
   男性体重  60 58 58 63 70  平均値: 61.8
  ─────────────────────────────

 上の例では「女性群」「男性群」の体重データ,そしてその平均値が載っています.とある女性5人,とある男性5人に対して体重測定を行ったとします.
 質問その1です.「【この】データにおいて,女性と男性とでは体重の平均値に差があるといえますか?」
 
  男性体重-女性体重=61.8-49.4=12.4

 もし平均値に差がないのであれば「差=0」になるはずですが,「12.4≠0」であり,すなわち,男性と女性の体重には差があると断言できます.
 当たり前すぎて何を言っているんだろう,と思われたかもしれません.

 では質問その2です.「【このデータに限らず一般的に】,女性と男性とでは体重の平均値に差があるといえますか? データから【推測せよ】」
 さあどうでしょう? 「ん.どっかの本で男性の方が体重が重いと書いてあったかな?」といった,データ以外の情報を使わないでください.質問1との違いを区別していない人は「そんなのこのデータで男性>女性になっているから,当然,そうだろ?」と主張してしまいますが,これは誤りです.
 一般的に女性と男性の体重差に違いがあるかどうかを本当に調べるのであれば,この世の中の男性と女性全ての体重データを収集しなければなりません.さらには,そのデータはあくまでも「現在」であって,過去や未来のデータではないので,あらゆる時間のデータも収集する必要があります.……そんなのは絶対無理です!
 そのために,取れる範囲の人数のデータを使うしかありません.そこから「推測」するしかないのです.しかし,あくまでも推測でしかなく,そしてその推測が間違っている可能性もあります.この場合では,例えば「(全体としては本当は差がないのだけど)たまたま体重が軽い女性ばかり選んでしまった.たまたま体重が重い体重の男性を選んでしまった」という可能性もあります.
 このようなことを考えると,データの平均値から【即座に】結論を述べることはできません.これはt検定だけではなく,P検定?,あるいは統計学で使われている「検定」の基本的な考え方です.

 t検定に話を戻しますが,この特定データから推測して「一般的に,男性・女性体重に差があるか」を調べることができます.ちなみに上記データをt検定を行うと……

  t値=-4.79 自由度=8 確率=0.001372037

 という結果になります.この結果の読み取り方もこつがいるのですが,解読の流れとしては,

「【偶然で本当は差がないとして】,今回のような「12.4」という差があるということが発生する確率は「0.14」%である」→
「偶然で起きる確率が1%未満である」→
「それって滅茶苦茶珍しくない?」→
「それは偶然じゃないだろう? というよりは前提の『偶然で本当は差がない』というのがそもそも間違い何じゃないの?」→
「ということは,本当は差があるんだ!」

となって「やっぱり,一般レベルでも男性と女性の体重平均値には差がある」吐血論を下すことができるのです.

このように「t検定」の代表的な使用法としては「二つの平均値に本当に差があるか?」の検討があります(これを使えば,ある数値が本当に「0」よりも大きな数値であるか,なども検討できますが,今回は省略します).

大学院で研究をする際に道具として統計学を使っている者です.

>質問:統計学のP検定とt検定について教えてください.

P検定……? あまり聞き覚えがない検定名ですが,できましたら正式名称あるいはどのような場合に使用される検定か具体例を示して下さい.とりあえず「t検定」について説明します.

t検定とは正式な定義はともかくとして「t分布を利用した有意性検定」と考えていただくとよいでしょう.……ただしこの説明で分かる人はある程度統計学を勉強した人であって,統計学初心者の人にとっ...続きを読む

Q確率変数とは

確率変数P{X=x}のXとxの違いがよく分かりません。というか確率変数の概念自体がよく分かりません。またなぜP{X=x}=P(x)なのかもわかりません。助けてください。

Aベストアンサー

まず、Xとxが紛らわしいですね。
P{X=x}=P(x)
を、
P{A=t}=f(t)
のように置き換えても、同じ意味ですので、こう置き換えて説明してみます。
確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。各面に、{a,b,c,d,e,f}という文字が書かれたサイコロを想像してみてください。さて、このサイコロで、{a,b,c}の文字が出る確率を知りたいとしますね。ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。そこで、現象と数の対応を確率変数とします。この場合、確率変数Aを、
サイコロを振ってaが出たら、A=1
サイコロを振ってbが出たら、A=2
サイコロを振ってcが出たら、A=3
サイコロを振ってdが出たら、A=4
サイコロを振ってeが出たら、A=5
サイコロを振ってfが出たら、A=6
となる変数であると決めてしまいます。これで、現象->数への変換が出来ました。確率変数は、このように、本来数学では扱えない「現象の集合」を、数の集合に変換するのに使うのです。
P{A=t}のtは、正確に書くと、t∈実数です。つまり、実数を適当に一つ持ってきたのが、tです。
P{A=t}=f(t)は、現象の集合を確率変数Aで数に置き換えてやった時の値がtである確率が、f(t)という値と同じだよ。という意味です。

まず、Xとxが紛らわしいですね。
P{X=x}=P(x)
を、
P{A=t}=f(t)
のように置き換えても、同じ意味ですので、こう置き換えて説明してみます。
確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。各面に、{a,b,c,d,e,f}という文字が書かれたサイコロを想像してみてください。さて、このサイコロで、{a,b,c}の文字が出る確率を知りたいとしますね。ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。...続きを読む

Q統計学 母平均の95(90)%信頼区間の求め方

↓の問題の解き方と回答が分かる方いませんか?
参考書を読んでもチンプンカンプンで非常に困っています。。
宜しくお願いします。

標本A{10・6・12・6・10・10}
標本B{9・3・11・2・5・6}
(1)標本Aの母平均の95%信頼区間
(2)標本Bの母平均の90%信頼区間
*条件:t分布を使って解く

Aベストアンサー

標本Aについて,

平均=9.6,標準偏差=2.19,標本の大きさ=6,自由度=5

手順1.sqrt(標準偏差/自由度)を計算する。
手順2.自由度5,有意水準95%の値をt分布表から読み取る(この場合は2.571)。
手順3.±2.571*(手順1で計算した値)を計算する。
手順4.平均±(手順3で計算した値)を計算する。

手順4で計算した値が質問されている答えになるはずです。標本Bの場合も同様の手順でできますが,有意水準が90%なので値を読み取る際に注意してください。

Q偏差値から順位を求めるには

2000人の試験で偏差値42の場合、試験得点は正規分布になることがわかっているとき、この者の順位はどのように求めたらよいのでしょうか。

Aベストアンサー

>>標準正規分布表でなぜ0.80とわかるんですか。また、標準正規分布の面積の表とは違うんですか。

偏差値=(得点-平均)/標準偏差×10+50

で求めるので、偏差値から50引いて10で割ると、
平均0、分散1の標準正規分布上の値になります。

それで、偏差値42なら-0.8になるので、下側21%、ということです。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q誰かこの問題の解法を教えてください!お願いします。

数学の偏差値の問題について

数学の問題で

「高等学校で成績評価にい用いられる、いわゆる偏差値はXを個人の成績として
Y=10*(X-μ)/σ+50

により計算される。ここでμとσは母集団の平均と分散である。母集団が正規分布に
従うと仮定すると、偏差値が60~80のものは約何%いるか?

という問題の解法が良くわかりません。誰か分かる方教えてください、お願いします。

Aベストアンサー

>μとσは母集団の平均と分散である。母集団が正規分布に従うと仮定すると、
(X-μ)/σは、N(0,1)に従う。

>偏差値が60~80のもの…
60≦Y≦80⇔1≦(X-μ)/σ≦3

p(60≦Y≦80)
=p(1≦(X-μ)/σ≦3)
=p(0≦(X-μ)/σ≦3)-p(0≦(X-μ)/σ≦1)

各々の値は、正規分布表を見て下さい。


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