この問題を教えてください 1000人が受験した試験において、正規分布に従っているとき （1）偏差値6

この問題を教えてください
1000人が受験した試験において、正規分布に従っているとき
（1）偏差値65.3を得た生徒の順位
（2）偏差値40.3を得た生徒の順位
（3）偏差値61.7を得た生徒の順位
できれば解説もいただけるとありがたいです。z得点の出し方まではわかるのですが友達に聞いたところ、0.5を足してそれを1から引くと教わったのですがそこもなぜかわからないので教えていただけるとうれしいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/06/07 10:33

ここでは、「偏差値」とはどういうものか、その定義をきちんと知ることが先決です。

これは「正規分布」を「平均値、標準偏差で形をそろえたもの」です。

　まず、正規分布は、平均値をピークに、左右にダラ下がりの分布で、標準偏差を「σ」として、
　　平均値± σ　の範囲に、全体のデータの 68.3% が入る
　　平均値±2σ　の範囲に、全体のデータの 95.4% が入る
　　平均値±3σ　の範囲に、全体のデータの 99.7% が入る
という特性があります。
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …

　「テストの成績」では、「平均値± σ」といってるのが点数、「全体のデータ」といっているのが人数ですね。

　これだと試験ごとに「平均値」「標準偏差」が違って相互比較（たとえば「数学」と「英語」の比較、「中間テスト」と「期末テスト」の比較など）ができないので、全ての試験の結果を
・平均点を「50点」
・標準偏差を「10点」
にそろえた（「規格化」した）のが「偏差値」です。
　式で書くとかえって分かりづらいですが、
　（偏差値）＝ [(得点) - (平均点)] × 10 / (標準偏差) + 50

詳しくはこんなサイトで。
http://www.o-shinken.co.jp/benkyo/hensati/hensac …

「標準正規分布」が「平均を 0、標準偏差を 1 」に規格化してあるのと同じ発想です。

　この定義で考えれば、標準偏差を「σ」として、
　（1）偏差値65.3を得た生徒の実際の得点　→ 平均点 + 1.53σ
　（2）偏差値40.3を得た生徒の実際の得点　→ 平均点 - 0.97σ
　（3）偏差値61.7を得た生徒の実際の得点　→ 平均点 + 1.17σ
ということがすぐに分かります。
　実際の得点が何点であっても、この「±何σ」で分布のどの位置にいるかが分かります。
　この「±何σ」に相当するのが、「標準正規分布表」の「Z値」です。

　まずは、この「±何σ」の値から、その人が分布のどの位置にいるかを調べます。
　この場合には、「その人よりも高得点の人（＝Z値の大きい人）が何人いるか」を調べればよいわけです。そのためには、「その人よりも高得点の人（＝Z値の大きい人）の確率」を「標準正規分布表」から読み取って、総人数 1000人 にかけてやれば求まります。

　ということで、下記の「標準正規分布表」から「Z より上の確率」（表の上のグラフで、Φ(z) と書かれた黒い部分に相当する）を読み取ってください。（表によっては、平均値～Z の間の確率で書いてあるものもあるので、その表の書き方を確認してください。各々「0.5」から値を引けば他方の表の値になります：＊注）
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

（＊注）＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
＞z得点の出し方まではわかるのですが友達に聞いたところ、0.5を足してそれを1から引くと教わったのですが

というのは、多分この「標準正規分布表」の読み方のことだと思います。「平均値～Z の間の確率」で書いてある表で、「Z より上の確率」を求めようとすると、「0.5を足してそれを1から引く」＝「0.5 からそれを引く」ですから。
＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋

（1）Z = 1.53　→　0.063008
（2）Z = -0.97
　　これは「マイナス」なので、表の上のグラフで、Φ(z) と書かれた黒い部分が真ん中の「0」より左にまで来ていることを意味します。この場合には、左右対称なので、表で「0.97」の数値を読み取って、そのΦ(z) がグラフの「0」より左に「黒く」あるとして、グラフの右半分のΦ(z) の確率「0.5」と足し合わせます。（右半分全体が黒になるのは、Z=0 のときのΦ(z) の値を見れば 0.5 ですよね）

　ということで、
　　Z = 0.97　→　0.166023
なので
　　Z = -0.97　→　0.5 + 0.166023 = 0.666023

（3）Z = 1.17　→　0.121001


　あとは、これが「Z がこの数値よりも大きい大きい確率（グラフの「それ以上」の部分のΦ(z) ）なので、それが「1000人」だと何人分に相当するかを計算します。

（1）Z = 1.53　→　0.063008　→　1000人 × 0.063008 = 63.008 ≒ 63人
　つまり、この人を含めて、この人より高得点の人が63人いるということです。なので、この人は63番目。

（2）Z = -0.97　→　0.5 + 0.166023 = 0.666023　→　1000人 × 0.666023 = 666.023 ≒ 666人
　つまり、この人を含めて、この人より高得点の人が666人いるということです。なので、この人は666番目。

（3）Z = 1.17　→　0.121001　→　1000人 × 0.121001 = 121.001 ≒ 121人
　つまり、この人を含めて、この人より高得点の人が121人いるということです。なので、この人は121番目。

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました！

お礼日時：2017/06/08 18:58

No.1 回答者： kmee 回答日時： 2017/06/07 01:14

上位何位か? とは、 上位のどれだけの割合なのか、ということですよね?

1000人中10位だと、上から 10/1000=0.01 = 1% ということです。
逆に、下からは990位、割合は 990/1000=0.99=99%です。

このように、上からn位以上には、 n/全体 、下には (全体-n)/全体 の割合になります。
同様に、下からm位 以下には、 m/全体 、上には (全体-m)/全体 の割合になります。



では、それをふまえて
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9784195.html
ここにある図で、上位の割合と、下位の割合が、それぞれグラフのどの部分になるかわかりますか?