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No.2
- 回答日時:
曲線C:y=ax^3+bx^2+cx+dが、x=0で放物線y=x^2-2x+3と共通な接線をもつということは、曲線Cはx=0のとき放物線y=x^2-2x+3と同じ点を通るということなので、曲線Cは(0,3)を通らねばなりません。
よってCの式にx=0を代入してその値=3とおくとd=3となります。また、x=0における放物線y=x^2-2x+3の傾きはdy/dx=2x-2にx=0を代入してー2であることがわかります。この放物線と曲線Cがx=0のとき接するということは、x=0における曲線Cの傾きはー2でなくてはなりません。そこでdy/dx=3ax^2+2bx+cにx=0を代入するとc=-2となります。
曲線Cがx=2のとき直線y=3x-7に接するということは、両者はx=2のとき同じ点を通るということであり、Cは(2、-1)を通るということです。従ってCの式にx=2を代入すると
8a+4b+2c+d=8a+4b-4+3
=8a+4b-1
であり、この値がー1なので
8a+4b=0 ・・・(1)
また、x=2におけるCの傾きが3であればいい(y=3x-7に接するので)ので、
12a+4b-2=3 ・・・(2)
(1)と(2)を連立させるとa、bの値が出ます。
No.1
- 回答日時:
>x=0で放物線y=x^2-2x+3…(1) と共通な接線をもつとき
y'=2x-2
y'(x=0)=-2
共通な接線の傾きは-2であることが分かる。
共通な接線を
y=-2x+p
とおくと共通な接点(0,p)は放物線上の点でもあるから放物線の式に接点を代入
p=3 共通接点(0,3)
したがって、共通接線は
y=-2x+3…(2)
これを放物線の式に代入すると
-2x+3=x^2-2x+3 ∴x^2=0 つまりx=0は重根。これは(2)がx=0で(1)に接する事を意味する。
次に、共通接点(0,3)は曲線C上の点でもあるから
3=d…(3)
また曲線Cのx=0における接線の傾きが共通接線(2)の傾き「-2」でもあるから
y'=3ax^2+2bx+c
-2=c…(4)
これでc,dの値が求まった。
したがって曲線Cはc,dを代入して
y=ax^3+bx^2-2x+3 …(5)
y'=3ax^2+2bx-2
曲線Cがx=2で直線y=3x-7…(6)に接することから
3=12a+4b-2 ∴12a+4b=5…(7)
接点のy座標は y=-1 ∴(6)と曲線Cの接点(2,-1)
(5)に代入 -1=8a+4b-4+3 ∴2a+b=0…(8)
(7),(8)をa,bの連立方程式として解けば(a,b)が求まります。
これ位の連立方程式は解けますね?
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