続・水平線は丸い？

Question

前回、質問して、多数派が「丸い」ということでした。
 締め切ってから考えたのですが、水平線までの距離、約４ｋｍに対して、目の高さ１ｍいくら、というのは、ほとんど真横といえます。

  たとえば、円形のプールに飛び込んで、水面に顔を出した時、プールの縁はほとんど真横にあるので、たぶん、縁は直線に見えます。縁は頭のまわりを一周してうしろまでいきますが、高さが同じなら、直線に違いないでしょう。（縁が高ければ外のほうが高くなる曲線）

  では、水平線が丸く見える展望台、というのは、どれぐらいの高さなのでしょうか。（私自身、水平線がみえるようなところで育ってないもので・・）

 前回の回答では、平地や船の上でも丸く見える、という方がおられましたが、これは錯覚でしょうか。

  魚眼レンズや広角で、周囲が歪んでうつりますが、真正面に水平線がくるように構えた場合、直径が水平線になりますが、どう、歪んでいるでしょう。

ametsuchi · Accepted Answer

補足させて下さい。

人間の眼にどう見えるかは古くからの問題で、ルネサンスのA.デューラーの銅板画に残されているように、対象と眼の間に「透視板」を置き、点をプロットする方法で作図するようになりました。写真感光材料が発明される以前から「カメラオブスキュラ」と呼ばれる装置を開発して２Ｄの紙に３Ｄの風景を写し取ることに成功しました。これは後に写真感材が発明された後、そのまま「カメラ」になったことはあまりに有名です。ですから、人間の眼をカメラ、および写真レンズになぞらえることは全く以って正当です。少なくとも、眼も顔も動かさないとするなら...。

また、地球という回転楕円体（近似的には「球」）をどう２Ｄの紙に表現するかも古くからの問題で、角度を保つ等角図法、面積を保つ等積図法、など様々な工夫をしてきました。これらが、「射影幾何学」と呼ばれる学問を成立させ今日我々も多大な恩恵を蒙っているのです。

地球はとりあえず、球と思っていいでしょう。我々ＣＡＤ屋の用語ですが、3次元の曲面を２次元的に見た時の輪郭線を「Contour Line」,日本語では文字どおり「輪郭線」と称します。で、球面からε球の中心から離れたところから「輪郭線」がどうなるかが問題なわけです。

これは、勿論３次元的に見れば、「円」です。これは疑う余地がないです。地面に立つＡさんとは別にはるか宇宙にいるＢさんから、Ａさんの見ている「輪郭線」を表現すれば、斜めにみれば、楕円（に近い）でしょうけど、真上から見れば「円」に見えます。

しかし、こんな「輪郭線」に意味があるでしょうか？この「輪郭線」はＡさんにとってしか意味がないのです。Ａさんにとっては下で述べたように、地球が四角い巨大な板であろうと、星型の板であろうと同じに見えるのです。前回の方々を含めて皆さん、ゴッチャにしています。そして、「射影幾何学」が成立した経緯を軽んじています。

「水平線が見えるという事自体、まったく同じ高さではありえませんから、現実に直線で見えることはありません」というのは、球を仮定する限り勿論数学的には正しいですが、直線からの乖離は「波」や大気による「揺らぎ」内に入りますので無視できます。屁みたいなもんです。

但し、既に何度も申し上げたように、非常に高く上がると、僅かづつ、直線から離れてくるでしょう。月まで行けば当然「丸く」見えます。

何れにしても、人間の知覚をとりあえず置いておいて「どう見えるか」論するならば、カメラを仮定する以外ありえません。「人間の目がカメラと違うのは、視野が広い」というのも必ずしも正しくありません。焦点距離12mmの超広角レンズでは約120度の視野が得られます。その気になればもっと広い画角も得られるのです。但し、通常の射影ルールに従うなら、180度を越えることは出来ません。

通常の射影ルールだと、透視板、またはカメラを特定の方向に向けねばならず、周囲360度を対等に扱ったことにはなりません。昆虫や草食動物の視野の広さは衆知の事実ですが、人間の場合ぐるっと見回す、という時間的要素を含める方が、人間の知覚に近いというなら、

１）360度パノラマカメラ（スリットカメラ方式）
２）円周魚眼レンズ

という特殊なものまであります。

１）は水平方向の等しい天頂角を画面上の等しい長さに変換する垂直方向は通常のレンズと同じ。言わば、周囲を「ぐるっ」と見渡すという時間を含んだ行為を１瞬にまとめる行為に相当します。

２）は、水平、垂直とも等しい天頂角を画面上の等しい長さに変換する、という射影規則に従っています。これは、周囲だけでなく天頂も含めて「ぐるっ」と見渡すという時間を含んだ行為を１瞬にまとめる行為に相当します。

ametsuchi · Answer

何度もすいません。訂正です。

１）N0.9で、

「高度100kmの時ですら、眼（＝カメラ）を「水平」に保った場合、水平線は直線に写ります 」

はウソです。取り消します、水平に保っても湾曲します。

２）N0.9で仮定した「長広角レンズ」は「超広角レンズ」の誤りです。
またレンズの画角は対角線で測りますが、便宜上水平画角90°としました。

ametsuchi · Answer

何度も恐縮です。

http://www1.odn.ne.jp/sae-m/material/horizon/index.html

拝見しました。仮に世界一の超広角レンズでも、塔や気球の上からではこの写真のようにしか写りません。

>「同じカメラで長方形の物体を撮って長方形に写っているならば」

ええ。しかし、厳密に言うと、「長方形の物体」とは、互いの向かい合う２辺が平行で、隣接する２辺が90°であるような３D形状であり、「長方形に写っている」とは、各辺は歪曲のない線分ではあるけれども、辺同士の角度も長さも保たないようになります。向き合う２辺も平行ではなくなります。つまり単なる４辺形に写るわけです。

この「射影」で唯一保たれる性質は、直線は直線に、線分は線分にという性質です。この射影は「透視変換」（＝Perspective Projection）と呼ばれ、フツーのカメラ用レンズは広角だろうが、長焦点だろうが、全てこの射影ルールに従います。

「対象->人の知覚」に対して、最も適切な射影ルールは、この「透視変換」ですが、何度も触れたように、時間要素を入れて、魚眼レンズ的な射影ルールを適用しても構わないのですが、そうすると、

■３D直線が２D画面では曲がって写る

という代償を支払わなくてはなりません。普通人間の知覚では、３D直線、線分を「曲がっている」とは感じないはずです。「（３D的に）真っ直ぐ」なものを「（２D的にも）真っ直ぐ」と言っているわけです。

>「線」は海と空の境界ですが、境界に接している海には「太さ」..

イマイチよく分からないのですが、地球を凹凸のない奇麗な３D球と仮定すると、「水平線」は人の眼を頂点とする円錐の底面の円になりますから、太さのない線であり、且つ360度視点から等距離になります。高さを与えたら視点からの距離も変わります。

粗っぽい近似計算ですが、以下のように、高度10kmでも殆ど歪曲は目立たず、高度100kmなら、はっきり歪曲が確認できるでしょう。しかし、高度100kmの時ですら、眼（＝カメラ）を「水平」に保った場合、水平線は直線に写ります。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
塔の高さ(m)・見通し範囲(kM）．水平画角90°長広角レンズでの歪曲(%)
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
100.........36..............0.1
1000........113.............0.4
10000.......357.............1.2
100000......1122............3.7

ametsuchi · Answer

すいません。「お礼」に気が付きませんでした。4度目の登場で、流石に恥ずかしいです。

>「地球が丸い、という先入観」のなかった人々（コロンブスのスポンサー依頼を蹴った人たちなど）には、丸く見えなかったのでしょうか。 

  知りません。実は、言いそびれていたのですが、皆さんの間で「丸い」という言葉が２通りの意味に使われている気がします。

１）曲率を持っている。（球なら曲率一定、微分幾何的に言うと至る所「臍点」）
２）ある観測点を（輪郭線が）360度取り囲んでいる。

ここで、nozimi500さんが言われたのは１）の意味だと思いますが、Q2kiraiさんの言われているのは２）の意味ですね？

>魚眼レンズで直線に写った場合、近づいてくる直線（表現がまずいのですが、直線に「太さ」があったとすればだんだん太くなって近づくように見える）でしょうか。

通常の「等距離射影方式」と呼ばれる円周魚眼は、

ｙ＝ｆ ω  （f ；焦点距離  ｙ；像高、ω；入射角）............Equ.1)

なる射影規則に従います。等しい立体角を画面上の等しい長さに対応させます。

水平線が直線に写るのは、下で説明したとおり、カメラを水平に構えた場合に限ります。
ここで、nozomi500さんがおっしゃっているのは、実体を持った３Dの幅を持った直線、たとえばレールのようなものを指しているのでしょうか？それとも、水平線ですか？水平線は既に述べたように、実体のある３D線ではなく、「輪郭線」で、地球というボールに円錐状の帽子を被せた時、接する線（＝３D円）ですよね？ここに敢えて、「太さ」を仮定すると、「等距離射影方式」での射影規則はEqu.1)のとおりですから、360度どちらの方向（＝方位角）も対等に扱われます。いや、この射影方式ですと、水平方向のみならず、垂直方向（＝俯・仰角）まで対等に扱われます。従って、答えは

■同じ太さ

です。

しかし、無限に伸びるレール、即ち実体としては３D直線の場合、この写像ルールを適用すると、

■画面の中心では太く、画面の端では細い

ということになります。勿論レールに対して、カメラは直交していると仮定します。

ametsuchi · Answer

３度目の登場です。ヒツコクてすいません。一寸整理しましょう。

先ず、全員異論のなさそうなところから...。

１）地球を非常に半径の大きな球と仮定します。（ホントは回転楕円体）

２）観測者はこの球の表面近くにいます。場合により、球の中心から遠ざかる
ことが出来ます。（「高度が上がる」とも言える）

３）観測者から見える水平線は先程「輪郭線」という言葉を使いましたが、
平たく言えば、地上の点を頂点とし、「球に接する円錐」を考えるた時の接点を
周方向に繋いだ線です。これは、３Dの円になります。

４）観測点が地表面に近い時、「円」の中心と観測点ははぼ一致する。
換言するなら、「円錐」というより「円板」になるわけです。

５）この「円錐」は観測点が「高く」なるに従って細く尖り、「輪郭線」も
変わっていきます。これも勿論「３Dの円」。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

ですから、問題は、

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
■A.この「３D円」、即ち、円錐の底辺と側面との間の稜線が、観測者（＝円錐の
頂点）からどう見えるか？

■B,どのくらい観測点が上に上がったら、水平線が丸まって見えるか？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ということになります。まず、A.はいいでしょう？

私は、単なる射影幾何の問題であり、普通のカメラと同じ「射影規則」を適用する
のが最善と確信するので、そうしてみます。

イ）観測点が地表に近い（＝最大数1000m）時、
・カメラをどの方向に向けようと、上記「３D円」は、ほぼ直線に写ります。

ロ）観測点が地表から遠く離れた場合、
・カメラをどの方向に向けようと、画角内にこの「３D円」が入る限り、円（弧）
に写ります。月から見た地球、あるいは宇宙船から見た地球です。

ハ）、イ）ロ）で言い尽くされているはずですが、非常に極端な例を考えます。ある
意味で自説に反するかに見える例です。

非常に画角の広い超広角レンズを仮想的に考える。たとえば、画角179.9999度。
このレンズを数100m上空のヘリコプタから吊るし、真下に向けて写真を撮る。
するとどう写るか？勿論「円」です。しかし、カメラを一寸傾けるだけで、
水平線はほぼ直線に写ります。

ニ）人間の視角でまともに見えているのは事実上せいぜい150度くらいでしょうし、
経験的に自然に見える画角は60度～70度くらいです。ですから、数100～数1000m
上空から真下にカメラを向けても海しか写らないことになります。水平線は写り
ません。これを写すにはカメラを傾けなくちゃいけません。すると、水平線が
入る限りではほぼ直線になります。

ホ）しかも、今回の題意から考えて、カメラは水平付近を向いていると考えるのが
自然です。その場合、仮に画角179.9999度の超広角レンズで撮影しても、カメラが
地表近くにある場合、水平線は直線にしか写りません。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
では、nozomi50さんの問に戻って、B、を考えましょう。地球半径に比べたら
ヒマラヤの高嶺も、マリアナ海溝も表面のザラツキに過ぎません。ですから、
先程、数1000m云々と言ったように、海にエベレスト（＝チョモランマ）と同じ
高さに展望台を立てて記念撮影しても、水平線は直線にしか写りません。

reis · Answer

前回、展望台で「丸い！」体験が出来なかったと回答しましたが……。
そこの展望台は「標高７０メートル」ちょっとの山というよりは丘のうえに建っています。展望部分は３階建てくらいの高さでしょうか。

銚子の展望台を勧められてるかたがいらっしゃいますが……、はっきり言ってしまうと私の言ってるのもソコです。
私としては「全然丸くない」とも言えないけど「すごく丸い！」とも言えない微妙～～なところだと思います。
だから『期待していたような「丸い！」は体験できませんでした』と前回、回答したのですが。どちらかと言うと、ほとんど全てが水平線なので（地平線が見える部分はほんの一方向）、そのせいでそんな気分になると思っていました。
逆に育った環境として『視界（水平線）の端が歪んで』見える程度の高台は、自分の家の近所や下手したら通ってた学校の屋上とかでも有り得たので、私の感性が鈍ってるかもしれません。
他のかたが見れば、どれくらいの角度で見える……とか学問的に検証出来るのかもしれませんが、なにぶん理系不得意ですので参考になる実証が出せなくてスミマセン。

sanekazura · Answer

私も「水平線って丸くみえるか？」派です。
昔から常々疑問でしたのでこの質問楽しませていただいております。

　視界を120°、水平線までを４ｋｍとします。
　自分にみえる範囲は半径４ｋｍの扇がたに近い形でよろしいのかな。
（自信なし）あ、足元とかはのぞいて。

　扇がたのはしとはしを直線でつなぎます。（直線Ｌ）
　まんなかはその直線から4-2sqrt(2)=1.2 km だけ外に膨らんでます。
　目線が1.5mとすると、高さとして4-2sqrt(2):x=4:1.5 、x=0.45
　だけその直線Ｌより上に見える、ようなきがする。（2次元プロットして）
  つまり、2.8 km　先に垂直に立っている５０センチの棒を認識できるか？
　ということになるんだろうか？？



   |
   |
   |___________________________|_______________ 
　1.5m                         x m
   ←     2sqrt(2) = 2.8km    →← 4-2.8=1.2km→
   人　　　　　　海　　　　　Ｌとの交点　　　　　      水平線
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　絵がつぶれちゃってたらすいません。
　こんな計算でいいのかな？自信なし・・・。

tnt · Answer

人間の目がカメラと違うのは、視野が広い事です。
正面を向いたまま横をみてください。
この部分の水平線はどう写りますか？　前後方向ですね。
では、前の部分は？左右方向ですね。
では、前後に伸びている直線と左右に延びている直線を角を作らずに結ぶと
どうなりますか？
円です。
完全に水平線とまったく同じ高さから見れば、円周を内側から覗くような
形になりますから、直線にみえますが、
水平線が見えるという事自体、まったく同じ高さではありえませんから、
現実に直線で見えることはありません。
前と左右が見渡せる程度の高さがあれば、充分円に見えます。

体感するには銚子の展望台をお奨めします。
気球は不要です。意見がわかれているようですから、
実際に体験していただくのが一番だし、納得がいくでしょう。

他の方のお話のとおり、船の上でも簡単にわかります。

ametsuchi · Answer

nozomi500さん程の方がああいう締め切りをされて、聊か、がっかりするやら、驚くやら...。きっと気が付いて同じタイトルで出てくると確信してました。

地球が、球だろうが、回転楕円体だろうが、円板（○）だろうが、四角（□）だろうが星型（☆）だろうが、それが巨大であれば同じに見えるはずです。気球で数100ｍ上がっても同じです。私以外の方は単に地球が丸いという先入観に支配されていたに過ぎません。

「水平線が丸く見える展望台」というのは前回も申し上げたとおり、気球では駄目で衛星位まで上がらないとだめでしょう。

「平地や船の上でも丸く見える」というのは錯覚でしょう。

「魚眼レンズ」と「広角レンズ」では全く異なる写り方をします。前回も述べたように、収差のない広角レンズでは、３Ｄ直線は２Ｄ直線に変換されます。「歪む」としたら歪曲収差があるからです。ただし、「パースペクティブ」は存在して、超広角で撮った写真を「フツーの」位置から眺めると、端の人が太って見えたり、建物の斜め線が誇張されたり見えます。これは写真と目の距離がまずいのであって、元の角度を保つように目と写真の距離を取ればひずみません。

これも前回書きましたが、魚眼レンズで水平線を写した時、カメラを水平に向けた場合に限り、直線に写り、それ以外は曲がります。

一方、（収差のない）広角レンズでは、カメラをどっちに向けようと、水平線は直
線に写ります。

Q2kirai · Answer

自分が、針金を完全な輪にしたものに水平に取り囲まれていたときは、
それをまっすぐに見えるというのでしょうか？　それとも丸いと？

横からしか見ていなくても、すべての針金が自分から等距離にあれば
その輪は上から見れば丸いものだと認識できると思います。

私は実習船で太平洋の真ん中に出ていきましたが、「丸い」というのは
そのような認識でした。

続・水平線は丸い？

補足させて下さい。

何度もすいません。

何度も恐縮です。

すいません。

この回答への補足

３度目の登場です。

前回、展望台で「丸い！」体験が出来なかったと回答しましたが……。

私も「水平線って丸くみえるか？」派です。

人間の目がカメラと違うのは、視野が広い事です。

nozomi500さん程の方がああいう締め切りをされて、聊か、がっかりするやら、驚くやら...。

自分が、針金を完全な輪にしたものに水平に取り囲まれていたときは、

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　私も「水平線って丸くみえるか？」派です。