領域の図示の問題です

tを実数とする。xy平面上の点P( t+2,t)と点Q( t-2,-t)を考える。tが全ての実数をとるとき、直線PQが通過する範囲を図示せよ。

No.3 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/07/28 09:59

高校数学に、偏微分を持ち出して、なに考えてるんだろう。

。。。。ｗ

2点P、Qを通る直線の方程式は、2y＝tx-t＾2＋4-2t、これくらいはわかるだろう。
とすると、動くもの　つまりtについて考えると、tの2次方程式：t＾2-(2-x)t＋(4-2y)＝0　‥‥➀となる。
直線が動きうる範囲と言うのは、tが全ての実数を取るから　方程式➀が実数解を持つと良い。従って、判別式≧0が条件。
その計算は、自分でできるだろう。

(注)
直線が通過できない範囲は、判別式＜0であると良いのは、すぐわかるだろう。
もう少し複雑になると、t＞0　という条件があったりする。
この手の問題も　包絡線を使うと(知識としては、高校数学の範囲外だろうが)簡単にいく場合が多い。
この問題もそうだ。
包絡線について知りたければ、検索すると良い。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/07/28 05:43

点P(x,y)=(t+2,t)の軌跡

y=t,x=t+2=y+2 ∴y=x-2　…(1)

点Q(x,y)=(t-2,-t)の軌跡
y=-t,x=t-2=-y-2 ∴y=-x-2 …(2)
（点P,Qの奇跡は添付図の紫の交差する2本の直線）

線分PQの媒介変数sを使った表示
(x,y)=(t+2,t)(1-s)+(t-2,-t)s
=(t+2-4s,t-2ts) (s=0～1)　…(3)
つまり
x=t+2-4s,y=t-2ts　…(4)
これからsを消去すれば直線PQのtを使った方程式が出ますね。
　y=？　…(5) （ ←出来すね？）
線分PQは、P,Qのx座標の範囲から　t-2≦x≦t+2　…(6)
の範囲の部分になります。

tをパラメータにして線分PQを動かした時の軌跡をプロットした図を添付しておきます。
（なお、図中の線分PQ（青実線）と放絡線（黒線）の接点Rはt=1の場合のものです。）

線分PQが動いたときの通過領域の上側の境界線（放絡線）は
(5)の式をtで偏微分した式から求めたtを(5)に代入すれば得られます。
　y=？　…(7)（ ←　出来ますね？）

tが実数の全範囲で動かすとき、線分PQの通過領域は添付図から分かりますね。
境界線は　(1),(2)のy≦-2の部分の半直線,(7)の放物線で構成されます。
通過領域の図は、添付図を参考に、自身でお描き下さい。

この回答への補足

偏微分を使わないで解く方法でお願いします

補足日時：2011/07/28 18:24

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/07/27 23:07

PQを通る直線の式をtを用いて求めます。

PとQのx座標は異なりますので必ず有限の傾きを持つのでさほど難しくはないでしょう。

出てきた式をtについてまとめてみましょう。
それをtについての方程式と考えれば、その方程式が実数解を持つようなx,yの条件を考えればよいのです。